在数学尤其是泛函分析领域中，赋范空间是一类重要的结构，它们通过范数的概念对线性空间中的元素赋予大小的概念，进一步引入的拟赋范空间和2-赋范空间则是对传统赋范空间概念的推广与扩展。本文将要讨论的拟2-赋范空间的p-凸性问题，正是从这些数学分支中衍生出来的一个研究课题。
为了深入理解本文所探讨的内容，我们首先需要弄清楚几个基础概念：赋范空间、拟赋范空间、2-赋范空间以及凸性。
赋范空间（Normed space）是指一个实数域或者复数域上的线性空间，搭配有一个范数。一个范数是一个函数，它将空间中的每个元素映射为一个非负实数，并满足以下性质：1) 非负性，即对所有元素x，范数||x||大于等于0，并且||x||=0当且仅当x为零元素；2) 正齐次性，即对所有实数α和空间中的元素x，有||αx||=|α|*||x||；3) 三角不等式，即对任意的元素x,y在空间中，有||x+y||小于等于||x||+||y||。满足上述性质的范数可以诱导出空间中的一个拓扑结构，即开球和闭球等开闭集的概念。
拟赋范空间（Quasi-normed space）在定义上与赋范空间类似，但是放松了范数的第三个条件，即不强制要求函数满足三角不等式，而是仅要求它满足弱三角不等式：存在一个常数C，使得对所有空间中的元素x,y，有||x+y||小于等于C*(||x||+||y||)。如果一个拟赋范空间是完备的，即其中的柯西序列都收敛，则称该空间为拟赋范空间。拟赋范空间的完备化可以通过对原空间中柯西序列的等价类进行赋范来得到，称之为拟赋范空间的完备化空间。
2-赋范空间（2-Normed space）是一个特殊的拟赋范空间，在这个空间中，范数（在这里称为2-范数）是定义在两个元素组成的有序对上，而非单一元素上，满足类似单个元素范数的基本性质，如正定性、齐次性和对称性，但其不满足三角不等式。2-赋范空间的完备形式同样可以被定义。
至于凸性（Convexity），在赋范空间中，凸性描述的是空间单位球的几何特征。凸集是指一个集合，使得其中任意两点的连线仍然全部包含在该集合内。如果集合中每一点都可以表示为集合内两点的凸组合，则称该集合为严格凸集。在拟2-赋范空间的研究中，凸性是一个核心概念，因为它与该空间中的几何结构、逼近问题以及不动点理论紧密相关。
本文提出拟2-赋范空间的p-凸性，这意味着在拟2-赋范空间中，对于任意两点x, y和它们的线性组合，满足一定的p值的条件。这一概念的提出，是对传统赋范空间凸性概念的一个扩展，并且对p-凸空间的研究可以推广到对p-端点性质的探讨，即通过p-凸性来刻画空间中的元素，这些元素在特定意义上是该空间凸性的“端点”。
文章中的定义3和定义4对拟2-赋范空间的p-凸性及其严格性给出了形式化描述。根据定义，当p-凸空间严格时，需要满足对任意非零元素x和y，以及所有z属于x和y张成的空间，满足严格不等式p< x,zp + y,zp，这样的空间被认为具有严格的p-凸性。
通过对拟2-赋范空间凸性的研究，可以得到关于空间结构的深刻理解，这对于理论数学和应用数学都有重要意义，比如在最优化问题、信号处理、机器学习等领域都有着潜在的应用价值。
本研究提到的基金项目、作者简介和参考文献等信息，虽然在正文分析中不是主要内容，但它们为文章提供了研究背景、学术支持和已有的理论基础，这有助于读者更好地理解本研究的学术定位和成果的创新性。通过这样的研究，科学家们能够不断推进数学理论的发展，并将其应用于解决更复杂的实际问题。
