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第
35
卷第
2
期
太原科技大学学报
Vo
l. 35
No.2
2014
年
4
月
JOURNAL
OF TAIYUAN UNIVERSITY OF SCIENCE
AND
TECHNOLOGY Ap
r.
2014
文章编号
:1673
-2057(2014)02
-0151
-06
一种求解二次模型信赖域子问题的休恩算法
李
亮,王希云,张雅琦,于海波
(太原科技大学应用科学学院,太原
030024
)
摘
要:在
Hessian
矩阵正定的前提下,首先根据二次模型赖域子问题的精确求解方法的思想,得到
了最优曲线的参数方程,进而根据参数方程建立了一种最优曲线的微分方程模型。针对此微分方程模
型,运用求解微分方程的休息方法构造了一条折线,从而用该折线代替最优曲线,提出了一种求解二次
模型信赖域子问题的休息算法。通过与切线羊折线法的数值实验作比较,数值结果表明新算法比切线
单折线法具有明显的优势。
关键词:最优曲线;休息算法;微分方程模型;信赖域子问题
中固分类号
:0221
文献标志码:
A doi:
10.
3969/j.
issn.
1673-2057.2014.02.016
无约束最优化问题如下:
ml
旷
(x)
,x E R
n
(1)
其中
f(x)
:R
n
→
R
是目标函数
,
x
E
R
n
是待求
变量。
对于求解元约束最优化问题
(1)
,在现代优化
方法中,信赖域方法是一种被广泛应用而且具有全
局收敛性的方法。所以,近二十多年来受到了非线
性最优化研究界的高度重视,成为了与传统的线搜
索方法并列的两类主要算法之一。
当用信赖域方法求解元约束最优化问题(1)
时,关键在于每步迭代时都需要求解下面形式的二
次模型信赖域子问题:
mlllq
份)
=内+卡
TB8
s. t.
11δ11
2
运6.
(2)
其中
g
E
R
n
为目标函数在当前迭代点的梯度,
B
ε
R
nxn
为目标函数在当前迭代点的
Hessian
矩阵
或其近似,6.
E
R
为信赖域半径,
δE
R
n
为待求变
量。当
A
变化时,上述二次模型信赖域子问题
(2)
的解
δ
事形成一条空间曲线,称为最优曲线
[IJ
。
如何求解二次模型信赖域子问题
(2)
,目前已
经提出了很多方法
[2.IIJ
。在
Hessian
矩阵正定的情况
收稿日期
:2013
-0
9-25
下,目前常用的折线法主要有单折线法、双折线法和
切线单折线法[山
4J
。文献
[14J
的数值实验表明,切线
单折线法比单折线法、双折线法求解二次模型信赖
域子问题
(2)
更有效。切线单折线法的思想:连接点
θ
,乱,轧形成一条折线,称为切线单折线,然后用该
切线单折线近似最优曲线来求解二次模型信赖域子
问题
(2).
其中。是初始点,鸟
=-BV
,礼是最优
曲线在点
δ
甲处的切线与
-g
方向的交点。与其它折
线法相比,切线单折线法中所构造的折线则更近似
最优曲线,但是当信赖域半径小于
11
轧
11
2
时,切线
单折线法的数值结果是很不理想的。
折线法的基本思想就是寻找一条折线能够很
好的近似最优曲线,从而用该折线代替最优曲线来
求解二次模型信赖域子问题
(2).
本文根据最优曲
线的参数方程首先构造出了一个微分方程模型,从
而采用求解微分方程的休恩方法[臼]构造一条折线
Y
,进而用该折线
Y
代替最优曲线来求解二次模型
信赖域子问题
(2)
.数值结果表明新算法较切线单
折线法具有很好的效果,尤其是当信赖域半径小于
11
轧
11
2
时,更显示了其明显的优越性。
基金项目:山西省自然科学基金
(2008011013)
;2013
山西省高校
"131
"项目
作者简介:李亮(1
988
-),男,硕士研究生,主要研究方向为最优化理论与应用。
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