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直角坐标系中非齐次热传导问题简单分解的精确解
与数值解
张钧波
1
，John C. Chai
2
，张敏
1
，许彬
1,2
1
南京理工大学动力工程学院，南京(210094)
2
南洋理工大学机械与航天学院，新加坡(639798)
摘 要：在直角坐标系中，对非齐次热传导问题进行简单分解，以求得其精确解。与此同时，
采用有限容积方法，在结构化网格中进行数值计算，通过比较计算结果，两者之间得到了令
人满意的一致性，这些在此证明简单分解方法的正确性和实用性。
关键词：非齐次热传导 数值计算 精确解
引言
用分离变量法求解齐次热传导问题，相对而言比较容易。如果由于偏微分方程和边界条
件的非齐次，而造成的热传导问题的非齐次，那么可将该非齐次的问题分解成几个简单的齐
次问题。我们在这里所讨论的非齐次热传导问题中，热源和边界条件的非齐次部分都是与时
间无关的
[1-5]
。
1. 基本概念和方程
对于一个非齐次非稳态热传导问题的数学描述为
[1]
,
() ()
(
)
2
,0
,
11
,
t
Trt
Trt gr
kt
α
∇ >
∂
+=
∂
区域R内
(1.1a)
()
0
iii
i
kt
T
hT f r
n
>
∂
+=
∂
i
边界s 上，
(1.1b)
(
)
,0Tf tr==区域R内
(1.1c)
其中，
i
n
∂
∂
为沿边界面
()
1, 2, ,
i
Si s= L 外法线方向的倒数；
s
为区域
R
连续边界面的数目。
请注意，
()
g
r 和 ()
i
f
r 与时间无关，显然，很多特殊情形可以从上述一般问题中得到。这
里，我们按如下方法将问题分解成两个较为简单的问题：
1． 一组按温度
(
)( )
0
0,1, 2, ,
j
Trj s= L
，
定义的稳态问题；
2． 一个按温度
()
,
h
Trt定义的齐次的非稳态问题。
取温度
()
0 j
Tr
，
为如下一组稳态问题的解，
() ()
2
00
1
0
jj
R
k
Tr gr
δ
∇ +=
，，
区域 内
(1.2a)
()
0
h
iijiji
i
k
T
hT f r
n
δ
∂
+=
∂
i，，
边界s 处 上
(1.2b)
其中，
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