p-半线性映射的性质 (2010年)
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第 ４２ 卷第 ４ 期 东 北 师 大 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） Ｖｏｌ ．４２ Ｎｏ ．４
２０１０ 年 １２ 月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１０
［文章编号］１０００‐１８３２（２０１０）０４‐００２１‐０５
［收稿日期］ ２０１０‐０８‐１０
［基金项目］ 国家自然科学基金资助项目（１０８７１０５７） ．
［作者简介］ 王喜林（１９７３ — ） ，男 ，硕士 ，讲师 ，主要从事代数研究 ；通讯作者 ：刘丽红 （１９７５ — ） ，女 ，硕士 ，讲师 ，主要从事代数研究 ；
王波 （１９７３ — ） ，女 ，博士 ，副教授 ，主要从事线性代数和数量经济研究 ．
ｐ
‐半 线 性 映 射 的 性 质
王喜林 ，刘丽红 ，王 波
（吉林农业大学信息技术学院 ，吉林 长春 １３０１１８）
［摘 要］ 首次把
ｐ
半线性映射引入到线性空间 ，并深入研究特征
ｐ
域上的线性空间
ｐ
半线
性映射 ．给出了
ｐ
半线性映射的一些基本性质 ，包含类似线性映射的一些性质和不同于线性
映射的性质 ．
［关键词］ 线性空间 ；
ｐ
‐半线性映射 ；完备域
［中图分类号］ Ｏ １５２畅５ ［学科代码］ １１０ · ２１２５ ［文献标志码］ Ａ
现在对于特征零域上的线性空间和线性映射的研究非常成熟 ，应用也非常广泛 ，已经取得了相当系
统的结果
［１］
，于是我们开始考虑特征
ｐ
域上的线性空间和
ｐ
‐
半线性映射的情况 ．目前
ｐ
‐
半线性映射在
特征
ｐ
域上的线性空间的应用 ，还处在前期的发展阶段 ，但是它在模李代数（即特征
ｐ
域上的李代数）
的分类起到非常重要的作用
［２］
．本文把特征零域上的线性空间的线性映射的一些重要性质推广到特征
ｐ
域上的线性空间 ，得到了
ｐ
‐
半线性映射的一些重要性质 ．在此 ，如无另外说明 ，Ｋ 均表示特征为
ｐ
的
域 ；Ｖ ，Ｗ 为 Ｋ 上的有限维线性空间 ．
定义 １ 设 Ｋ 是任意一个给定的域 ，特征为
ｐ
，其中
ｐ
是一个素数 ．Ｖ ，Ｗ 是 Ｋ 上的线性空间 ．若有
Ｖ 到 Ｗ 的映射
ｆ
满足
ｆ
（ｋ
α
＋
β
）＝ ｋ
ｐ
ｆ
（
α
） ＋
ｆ
（
β
） ，橙
α
，
β
∈ Ｖ ；ｋ ∈ Ｋ ．
则称
ｆ
是 Ｖ 到 Ｗ 的一个
ｐ
‐
半线性映射 ．
ｐ
‐
半线性映射比较抽象 ，下面举两个例子 ．
例 １ 考虑 Ｚ
ｐ
＝ ｛０ ，１ ，… ，
ｐ
－ １｝ ，则 Ｚ
ｐ
是特征为
ｐ
的域 ，将 Ｚ
ｐ
看成自身上的线性空间 ，令
σ
：Ｚ
ｐ
Ｚ
ｐ
，
α
｜
α
ｐ
．
则
σ
是一个
ｐ
‐
半线性映射 ．
证明 设
α
，
β
，
γ
∈ Ｚ
ｐ
，则
σ
（
γα
＋
β
） ＝
σ
（
γα
＋
β
）＝ （
γα
＋
β
）
ｐ
＝
∑
ｐ
ｉ
＝
０
ｐ
ｉ
γ
ｐ
－ ｉ
α
ｐ
－ ｉ
β
ｉ
．
因 Ｚ
ｐ
特征为
ｐ
，同时
ｐ
ｐ
ｉ
，ｉ ＝ １ ，… ，
ｐ
－ １ ，
所以
ｐ
ｉ
＝ ０ ，ｉ ＝ １ ，… ，
ｐ
－ １ ．
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