在2001年发表的关于非扩张映象耗散扰动问题的研究中，罗元松教授探讨了非扩张映象在具有偏序结构的实Hilbert空间中的不动点问题，并将这一理论应用到了研究某些非线性积分方程的解的存在性。接下来将详细解析这篇文章中涉及到的关键知识点。
文章涉及了非扩张映象和增生映象的概念。非扩张映象是指在定义域内，任意两点的像点之间的距离不超过这两点的原始距离的映射。数学上，对于任意的x和y，如果存在这样的映射T，使得 ||T(x) - T(y)|| ≤ ||x - y||，则称T为非扩张映象。而增生映象是与非扩张映象紧密相关的一个概念，它关注的是映射后差值向量与原始向量的内积是非负的。形式上，若对于任意的u和v，都有枙u - v, T(u) - T(v)枛 ≥ 0成立，那么映射T被称为增生映象。这两个概念在不动点理论中是研究迭代方法和固定点存在性的重要工具。
文章利用了锥和偏序结构来描述Hilbert空间中的条件。在Hilbert空间H中，锥P可以引出H中的偏序关系"≤"，即对任意给定的x、y ∈ H，当且仅当y - x属于锥P时，x ≤ y。锥P在研究不动点问题时起到了类似正算子的作用，从而使得相关不动点的存在性分析能够在偏序结构下进行。
文章进一步利用了锥不动点指数理论来研究非扩张映象和增生映象的不动点问题。锥不动点指数理论是不动点理论中的一个高级分支，它能够处理偏序空间中的多值映射，是研究非线性算子方程解的存在性的重要工具。通过构造特定的多值映射和锥不动点指数，研究者可以判断出非扩张映象或者增生映象在特定条件下的不动点存在性。
文章还探讨了耗散映象的概念，所谓耗散映象，指的是在一定条件下，映射后像点与原始点之间的距离会缩小，例如对于给定的映射T和锥P，如果对于所有的x ∈ H，都有T(x) - x属于锥P内部，那么T被称为耗散映象。
文章中还提到了k集压缩映象的概念，它是一种特殊的非扩张映象，用于描述映射下像点与原始点之间距离缩减的速率。通过研究k集压缩映象，可以进一步了解不动点解集的性质。
研究的最终目的是将不动点理论的结果应用于非线性积分方程的解的存在性分析。非线性积分方程在物理学、工程学以及经济学等领域有着广泛的应用，寻找这类方程的解通常较为困难，通过不动点理论可以提供一种有效的解的存在性证明方法。
文章的数学表述和证明方法涵盖了高级泛函分析、多值分析以及非线性分析的技术和概念。通过构建适当的数学模型并使用这些工具，研究者可以得到深入的理论成果。
在具体分析中，文章运用了数学归纳法和不动点定理，并对Hilbert空间中的映射进行构造和迭代，来证明存在不动点。同时，文章还讨论了这些不动点在特定条件下的性质，并对映射的迭代序列给出了弱收敛性的证明。
通过这篇研究，我们不仅可以了解到非扩张映象和增生映象不动点理论的深入内容，还可以了解到这些理论是如何被应用到实际问题，特别是非线性积分方程解的存在性分析中去的。这表明了不动点理论在解决现代科学和工程领域中的复杂问题方面具有巨大的潜力和价值。
