本文将探讨关于p.n.p.矩阵（偏非正矩阵）的谱性质，这些性质是由逢明责在其1986年的论文中所提出。p.n.p.矩阵是特殊的矩阵，其每一k阶主子式都是非正的，这里的k介于1和n之间（矩阵的阶数），且k不等于n。在此基础上，逢明责进一步细化了谱性质的讨论，并将J.J.Johnson的定理推广到p.n.p.矩阵上。
我们定义什么是p.n.p.矩阵。如果矩阵A属于实数域上的nxn矩阵，并且A的每一k阶主子式都非正（即小于零），则称A为p.n.p.矩阵。特别地，如果一个p.n.p.矩阵的每一k阶主子式都严格小于零（即负数），则称之为偏负（p.n.）矩阵。
J.J.Johnson在1974年证明了p.n.矩阵具有一负特征值的充分条件，并且p.n.矩阵的谱性质。逢明责在其研究中，通过引入新的定理和证明，扩展了对p.n.p.矩阵特征值分布的估计，并探讨了其谱性质。这些谱性质包括：
1. p.n.p.矩阵的特征值之实部不全为正。
2. p.n.p.矩阵至少有一个非正实特征值。
3. 若p.n.p.矩阵非奇异（即可逆），则其负特征值个数为奇数。
在主要结果部分，逢明责提出以下定理：
定理1: 假设A是p.n.p.矩阵，那么A的特征值之实部不全为正，且A至少有一个非正实特征值。此外，如果A是非奇异的，那么A恰有奇数个负特征值。
定理2: 对于一个非奇异的p.n.p.矩阵A，存在一个单重负特征值λ1'，使得|λ1'|等于A的谱半径ρ(A)。
在证明上述定理时，逢明责使用了Frobenius矩阵和Perron-Probenius定理来证明矩阵的正特征值和负特征值的关系。他利用矩阵主子式之和的性质和矩阵特征多项式的特性，来得出p.n.p.矩阵特征值的分布规律。
引理1进一步强调了p.n.p.矩阵的特征。如果一个p.n.p.矩阵满足某一列元皆为负元，则该矩阵的全部元素都为负元，即矩阵的所有元素都不大于零。
在定理2中，逢明责还提出，对于非奇异的p.n.p.矩阵，其有一个单重负特征值λ1'使得|λ1'|等于矩阵的谱半径ρ(A)。这个结论是对Johnson先前对p.n.矩阵的谱性质的一个推广。
逢明责的研究不仅深化了对p.n.p.矩阵性质的理解，而且为矩阵理论提供了新的思路和证明方法。通过推广J.J.Johnson的定理，逢明责的工作展示了p.n.p.矩阵在矩阵理论中的重要性，并指出了其在工程、物理和其他科学领域的潜在应用价值。
本文的核心是围绕p.n.p.矩阵的定义、谱性质、特征值的分布估计及与之相关的矩阵理论进行的深入探讨。逢明责的贡献为后续的研究者们提供了新的理论基础和研究方向，使得p.n.p.矩阵的研究在矩阵论以及相关应用领域中具有更为广泛的意义。
