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收稿日期
基金项目 ．国家自然科学基金资助项目
作者简介 ．彭小飞 女 湖南人 博士 主要从事数值代数研究
求 解 鞍 点 问 题 的 块 松 弛 型 预 条 件 子
彭小飞
华南师范大学 南海学院 数学系 广东 佛山
摘要 为了提高 ｋｒｙｌｏｖ 子空间方法求解大型稀疏鞍点问题的收敛速度 基于系数矩阵的块松弛型
迭代分裂 提出了块松弛型预条件子 给出了预处理后系数矩阵的特征值分布和相应的最小多项
式 该预条件子需要选择一个预处理矩阵和 个待定参数 数值实例证明 适当选取预条件矩阵
和待定参数 相应的预处理 ｋｒｙｌｏｖ 子空间方法较未预处理的方法或块超松弛型迭代方法具有快
得多的收敛速度
关 键 词 鞍点问题 预条件子 特征值分布 最小多项式
中图分类号 Ｏ 文献标识码 Ａ 文章编号
Ｂｌｏｃｋ Ｏｖｅｒｒｅｌａｘａｔｉｏｎ＿ｔｙｐｅ Ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｆｏｒ Ｓａｄｄｌｅ Ｐｏｉｎｔ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ
ＰＥＮＧ Ｘｉａｏ＿ｆｅｉ
Ｄｅｐｔ ｏｆ Ｍａｔｈ Ｎａｎｈａｉ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｆｏｓｈａｎ Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｋｒｙｌｏｖ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ
ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｏｖｅｒｒｅｌａｘａｔｉｏｎ＿ｔｙｐｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｏｖｅｒｒｅｌａｘａｔｉｏｎ＿ｔｙｐｅ ｍａｔｒｉｘ
ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ Ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｍｉｎｉｍａｌ
ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ Ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｗｏ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｐａ
ｒａｍｅｔｅｒｓ Ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ｋｒｙｌｏｖ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｅｎｄ ｔｏ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｆａｓｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｏｓｅ ｗｉｔｈｏｕｔ ｐｒｅｃｏｎｄｉ
ｔｉｏｎｉｎｇ ｏｒ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｏｖｅｒｒｅｌａｘａｔｉｏｎ＿ｔｙｐｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｖａｌｕｅｓ
ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｃｈｏｓｅｎ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｖａｌｉｄａｔｅ ｔｈｅｓｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｍｉｎｉｍａｌ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
本研究考虑如下鞍点问题
Ａ
ｕ
Ａ Ｂ
Ｂ
Ｔ
ｘ
ｙ
ｂ
ｑ
ｆ
其中 Ａ Ｒ
ｍ ｍ
是一个对称正定的矩阵 Ｂ Ｒ
ｍ ｎ
ｍ ｎ是列满秩的 上角标 Ｔ 表示矩阵的转置
鞍点问题在工程和科学计算上有着极其广泛的应
用 目前已经存在大量的求解该类问题的数值方
法 本 研究仅 提及分 裂迭 代方 法
和预 处 理
ｋｒｙｌｏｖ 子空间方法
Ｍ Ｂｅｎｚｉ 等给出了近年来
该研究工作的进展
文献中提出了非对称块
第 墘卷 第 期
Ｖｏｌ Ｎｏ
重 庆 工 学 院 学 报自然科学
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ
拻年 月
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