洛伦兹模型是一种著名的混沌动力学系统，由气象学家Edward Lorenz在1963年提出，用于模拟大气中的对流现象。这个模型虽然简单，却揭示了非线性动力系统的复杂行为，尤其是其对初始条件的高度敏感性，这被称为“蝴蝶效应”。在这个项目中，我们将使用Euler方法和Runge-Kutta算法来数值求解洛伦兹方程，并通过Matlab或Octave编程实现。
洛伦兹方程通常表示为以下三元非线性常微分方程组：
\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = \sigma(y - x) \\
\frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \\
\frac{dz}{dt} = xy - \beta z
\end{cases}
\]
其中，\( \sigma \), \( \rho \), 和 \( \beta \) 是模型参数，通常取经典的Lorenz参数值：\( \sigma = 10 \), \( \rho = 28 \), \( \beta = 8/3 \)。
Euler方法是一种基本的数值积分方法，用于求解初值问题。对于洛伦兹方程，它的工作原理是通过将时间步长 \( dt \) 分解成一系列小步骤，每次迭代中使用当前时刻的状态预测下一时刻的状态。Euler方法的迭代公式如下：
\[
x_{n+1} = x_n + dt \cdot \sigma(y_n - x_n)
\]
\[
y_{n+1} = y_n + dt \cdot (x_n(\rho - z_n) - y_n)
\]
\[
z_{n+1} = z_n + dt \cdot (x_ny_n - \beta z_n)
\]
Runge-Kutta算法是比Euler方法更精确的数值积分方法，有多种版本，如四阶Runge-Kutta（RK4）。RK4在每个时间步长内使用四个中间步骤来估计下一个状态，从而提供更高的精度。对于洛伦兹方程，四阶Runge-Kutta算法的迭代公式相当复杂，但可以显著减少误差。
在Matlab或Octave中实现这些算法时，我们需要定义一个函数来计算导数（即洛伦兹方程的右边），然后用循环结构进行时间步进。代码中可能会包含如下关键部分：
```matlab
function dzdt = lorenz(t, z, sigma, rho, beta)
dzdt = zeros(3, 1);
dzdt(1) = sigma * (z(2) - z(1));
dzdt(2) = z(1) * (rho - z(3)) - z(2);
dzdt(3) = z(1) * z(2) - beta * z(3);
end
[t, z] = ode45(@(t, z) lorenz(t, z, sigma, rho, beta), [0, t_final], z0);
```
这段代码定义了洛伦兹方程的导数函数，并使用内置的ode45函数（一种四阶Runge-Kutta实现）进行求解。初始条件`z0`和最终时间`t_final`需要根据具体需求设置。
项目中提到的“蝴蝶图”是指洛伦兹吸引子的三维图形，其形状类似蝴蝶翅膀。这种图形展示了洛伦兹模型如何在不同初始条件下产生复杂的轨迹。通过在不同起始点运行模型并绘制结果，我们可以观察到混沌的行为。
在Matlab或Octave中，可以使用`plot3`函数来创建三维图形，展示洛伦兹吸引子：
```matlab
plot3(z(:,1), z(:,2), z(:,3));
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
grid on;
```
通过这个项目，学习者不仅可以掌握数值求解微分方程的基本方法，还能直观地理解混沌理论和蝴蝶效应。此外，对比Euler方法和Runge-Kutta算法的结果，可以加深对数值稳定性和精度概念的理解。
