本文的标题《Improving lower bounds on the second-order nonlinearity of three classes of Boolean functions》直译为“提高三种布尔函数类的二阶非线性下限”，其描述则是对标题内容的进一步阐述，说明了研究的目的在于对具有特定形式的布尔函数的二阶非线性下限进行改进。布尔函数在计算机科学和数学的多个领域都有广泛的应用，例如对称密钥密码系统、编码理论、电路设计、图论、极组合学以及学习理论等。在密码学中，布尔函数的二阶非线性对于抵御各种已知攻击以及未来可能存在的潜在攻击至关重要。
在密码学中，对称密钥密码系统中使用的布尔函数必须具有较高的二阶非线性，以抵御各种已知攻击和一些潜在攻击。二阶非线性也在编码理论中扮演着重要角色，因为所有在n个变量中的布尔函数的最大二阶非线性等于长度为2n、阶数为r的Reed–Muller码的覆盖半径。已知提供具有高代数度的通用布尔函数的二阶非线性严格下限是非常困难的，除非是少数特殊情况。本文研究的目的是改进形式为fi(x)=Trn1(xdi)的三个类别的布尔函数的二阶非线性下限。
布尔函数的二阶非线性是密码学中一个关键的非线性度量，它衡量的是布尔函数对于其输入变量二次项的非线性程度。对于密码学算法来说，函数的非线性程度越高，其抵抗线性和差分攻击的能力就越强。布尔函数在设计S盒（替代盒）和加密算法时非常重要，因为它们直接影响到算法的安全性和效率。
文章中提到了几个关键概念，包括Reed–Muller码、覆盖半径、二阶非线性和Walsh变换。Reed–Muller码是一种线性纠错码，而覆盖半径是指当用Reed–Muller码覆盖所有可能的长度为2^n的二进制向量时，需要的最小半径值。二阶非线性与布尔函数抵御二次攻击的能力有关，而Walsh变换是一种用于分析布尔函数的谱分析技术。
文中提到了对于具有特定形式的布尔函数类的二阶非线性下限的改进。布尔函数的具体形式是fi(x)=Trn1(xdi)，这里的Trn1表示从F2^(n+m+1)到F2的绝对迹映射，而di的形式分别是(1)d1=2m+1+3和n=2m、(2)d2=2m+2和n=2m且m为奇数、(3)d3=2^(2r)+2r+1+1和n=4r且r为偶数。
文章提到了布尔函数在多个领域中的应用，指出布尔函数在对称密钥密码系统、编码理论、电路设计、图论、极值组合学以及学习理论等领域都有广泛的应用。文章还指出，二阶非线性对于这些领域来说是一个非常重要的概念。在对称密钥密码系统中，布尔函数的二阶非线性必须足够高才能抵御各种攻击。同时，在编码理论中，所有n个变量的布尔函数的最大二阶非线性等于长度为2^n、阶数为r的Reed–Muller码的覆盖半径。这个覆盖半径是一个重要的参数，因为它决定了码能够覆盖多大的范围。
这篇研究论文探讨了通过改进特定形式的布尔函数的二阶非线性下限来增强密码系统抵御攻击的能力。这涉及到对布尔函数特性的深入研究以及如何优化这些特性以提高系统的安全性。布尔函数在现代密码学中的地位极其重要，因此相关研究对于安全通信和数据保护领域具有潜在的巨大价值。
