在讨论无理数的表示法时，我们首先需要回顾数学中的几个基本概念，例如整数、素数、因数分解以及无理数的定义。接着，我们会详细探讨文中提及的定理，以及通过这些定理如何证明一类特定无理数的存在性。
整数包括正整数、负整数以及零，而素数是那些只能被1和它本身整除的大于1的自然数。关于因数分解，算术基本定理说明了每一个大于1的整数都可以写成一个素数的乘积，而且这种表示是唯一的（不考虑素数顺序）。例如，整数N可以被写为：
N = p1^e1 * p2^e2 * ... * pn^en
其中，p1到pn是素数，而e1到en是相应的正整数指数。
无理数，与有理数相对，指的是不能表示为两个整数比例的实数。无理数的例子包括π（圆周率）和√2（2的平方根）。它们无法用分数形式准确地表示，且小数表示为无限不循环。
文章中提到的定理是关于一类广泛形式的无理数的。为了证明，作者使用了反证法。反证法的基本思想是假设某个命题的否定是真的，然后推导出矛盾，从而证明原命题为真。这种方法在数学中非常常见，尤其在证明无法直观判断的命题时。
在这个上下文中，定理表明如果有一组两两不同的素数，而它们的正整数次方根（每个素数的次方相同）是一个大于1的整数，那么这个根必定是无理数。
为了更好地理解这个定理，我们需要先考虑素数的性质。素数的定义是只有1和它本身两个正因数的自然数。假设我们有两两不同的素数p1, p2, ..., pn，和一个大于1的整数k。如果考虑它们的k次方根的乘积：
√[k]{(p1 * p2 * ... * pn)^k}
根据算术基本定理，我们知道这个乘积可以被分解为素数的k次方的乘积。问题的关键在于，即便k是这些素数的一个正整数次方根，乘积p1^k * p2^k * ... * pn^k本身不能被分解成更小的素数乘积，除非k次方根本身是无理数。如果k次方根是有理数，它应当能够被表示为两个互素的整数比例，但这样的假设会导致与素数的定义相矛盾，因为每个素数的次方根无法被其他任何数整除。
因此，通过反证法，我们得出结论，对于任何大于1的整数k和一组两两不同的素数，这些素数的k次方根只能是无理数，从而证明了定理。
通过这种方法，文章建立了一种表示无理数的方式，并通过数学的严谨逻辑论证了它的正确性。这项研究的意义在于扩展了我们对无理数的理解，并为相关的数学理论提供了进一步的证据。无理数的研究在数学分析、数论等众多领域中都有着重要应用，而理解它们的性质对于数学家解决实际问题具有深远的影响。
