本文研究了核非负矩阵分解（Kernel Nonnegative Matrix Factorization，KNMF）在人脸识别中的应用，特别是采用径向基函数（Radial Basis Function，RBF）核函数的KNMF-RBF算法。文章提出了一种将映射数据在RBF特征空间中以非负性约束表示并开发基于RBF核函数的非负矩阵分解算法。该算法通过基于Frobenius范数的目标函数，并结合核理论和梯度下降方法，推导出了KNMF-RBF方法的乘法更新规则。
非负矩阵分解（NMF）是机器学习中常用的一种降维方法。它的核心思想是将矩阵分解为两个或多个非负矩阵的乘积，这样做的好处是可以保证分解后的矩阵仍然保持原始数据的特征，即元素非负。该算法经常应用于图像处理、文本挖掘和生物信息学等领域。
在人脸识别领域，核非负矩阵分解的引入是为了提高识别率和处理非线性数据。核方法（Kernel Methods）通过将原始数据映射到高维特征空间，利用核函数来处理原始空间中难以线性处理的数据。RBF核是核方法中常见的一种核函数，它主要用来处理高维数据的相似性度量，能够有效地捕捉数据在高维空间中的分布特性。
RBF核函数的基本形式是高斯径向基函数，形式上是对输入数据点到中心点距离的指数函数。在人脸识别中，RBF核函数可以将人脸图像映射到一个高维空间中，在这个空间中，原始数据的非线性特性被展开，能够更好地捕捉人脸图像之间的细微差异。
本文提出的KNMF-RBF方法，通过构造一个辅助函数来确保算法的收敛性，并基于FERET人脸数据库进行实验。实验结果表明，KNMF-RBF方法在人脸识别上优于一些基于核的方法。这一结果对于提高人脸识别的准确率具有积极意义。
研究者们使用了Frobenius范数作为损失函数来衡量分解的误差，这是一种在非负矩阵分解中常用的范数形式。Frobenius范数衡量的是矩阵元素的平方和的平方根，而乘法更新规则是迭代优化算法中常见的一种形式，通过不断更新矩阵的元素值，最终使得损失函数的值达到最小。
在算法实现上，核理论被用来引入RBF核函数，从而允许模型在原始输入空间中应用RBF核函数的映射，使得模型能够在隐含的高维空间中进行优化。梯度下降方法则用于优化损失函数，通过计算损失函数关于模型参数的梯度，指导参数的更新方向，以期望最终收敛到最优解。
文章中的作者来自深圳大学数学统计学院和深圳大学媒体安全重点实验室，并且提供了联系邮箱，其中Binbin Pan作为通信作者。研究团队可能还包括了其他研究人员，他们共同探讨了非负矩阵分解在人脸图像处理领域的应用，并通过实验验证了所提方法的优越性。
KNMF-RBF算法的提出为处理人脸识别中的非线性问题提供了一种新的思路和方法。通过对RBF核函数的应用，该算法能够更好地处理高维特征空间中的数据分布，并且在实际的人脸识别任务中取得了令人鼓舞的结果。这些成果对于促进人脸识别技术的发展和应用具有重要意义。
