g-对称矩阵的LLg和LDL9分解 (1995年)

本文讨论的是一类特殊的矩阵——g-对称矩阵的分解问题，具体地，研究了g-对称矩阵的LLg分解和LDLg分解。这些分解方法是线性代数中矩阵分解理论的重要组成部分，广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式以及求逆矩阵等。 我们需要了解什么是g-对称矩阵。定义1.1给出了g-对称矩阵的定义：如果一个矩阵M满足条件M'=M，其中M'是通过某种特定的转置操作得到的，则称M为g-对称矩阵。这里所说的特定转置操作是将矩阵M的各个元素按照某种规则重新排列得到M'。本文提出的g转置记作M'，表示为JMTK，其中K和T是一些特殊的矩阵。特别地，如果M是一个n阶p-对称矩阵，则可以表示为一个块对角矩阵，其中一个块是T阶的T对称矩阵A，另一个块是q阶的T-对称矩阵B，且T和q的和等于n。 接下来，本文介绍了g-对称矩阵的LLg分解。定理1阐述了存在唯一的主对角元素全为正的下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得M可以分解为LU。这个分解过程是求解线性方程组的基础，特别是当M为正定矩阵时，这样的分解是存在的并且是唯一的。文中还提到了LDLg分解，这实际上是LLg分解的一种变形，其中包含了对角矩阵D。定理1同时也给出了分解的条件。 为了进一步说明这些理论的应用，文中给出了定理2和定理3。定理2说明了关于矩阵转置的一些基本性质，例如转置操作自身的性质，以及与矩阵乘法的关系。定理3则给出了g-对称矩阵的LLg分解的条件，包括p-对称矩阵A必须满足的条件，以及如何通过B的分解来得到M的LLg分解。 定理4介绍了g-对称矩阵的LDLg分解，这在实际应用中也非常有用。定理4指出，若p-对称矩阵A满足特定的分解条件，且B可以被分解为L3D3WAW'，其中L3是单位下三角矩阵，D3是对角矩阵，且主对角元全为正，则可以得到M的LDLg分解。 这些分解方法的提出，为求解g-对称线性方程组MX=b提供了新的途径。例如，通过LLg分解和LDLg分解，可以将方程组转化为一个或两个三角形系统的求解，从而简化计算过程。此外，这些分解也使得计算g-对称矩阵的行列式和求逆矩阵成为可能。 文中提到了相关的参考文献，其中涉及到了Katz和Ingram Olkin的 Linear Algebra and Appl.以及杨本立的p-对称矩阵的LU及LDU分解。这些文献为本文提供了理论支持和参考背景。 总结来说，本文详细探讨了g-对称矩阵的分解理论，包括LLg和LDLg分解方法的条件和特性。这些理论成果不仅在数学理论上具有重要意义，而且在解决实际问题，如线性方程组的求解、矩阵行列式的计算以及矩阵逆的求取中具有广泛的应用价值。