在数学和物理学领域，非线性偏微分方程的研究是非常重要的，特别是在描述非牛顿流体的动力学和非牛顿渗流问题时，非线性P-拉普拉斯方程扮演着关键角色。在2010年，张曙光、赵蕾和郭智三位学者发表了一篇论文，题为“非线性P-拉普拉斯方程的径向收敛的有界正解”，文中运用固定点理论，在非线性项非常一般的条件下，证明了非线性P-拉普拉斯方程径向收敛的有界正解的存在性。
我们来了解非线性P-拉普拉斯方程。在数学中，P-拉普拉斯算子是一种非线性微分算子，它和传统的拉普拉斯算子（对应于p=2的情况）有相似的性质，但具有更广泛的适用范围。非线性P-拉普拉斯方程通常表示为：
\[ \nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u) + f(x,u) = 0 \]
其中，\( p>1 \) 是一个给定的实数，\( f(x,u) \) 是非线性项，它在R^n空间的某个区域上是局部Hölder连续的。该方程的物理背景是描述非牛顿流体（如黏性材料）和非牛顿渗流（如地下水流）的性质。
文章中提到的研究出现在非牛顿流体的研究中，例如，介质中的应力-应变关系中的p值大于2时，介质被称为膨胀流体，p小于2时则被称为假塑性流体。当p等于2时，它们是牛顿流体。在p>2的情况下，问题变得更复杂，因为p<2时固有的某些良好性质似乎会消失或至少难以验证。研究者们在寻找证明有界正解存在性的条件，这些条件必须适用于广泛的非线性项。
固定点理论是数学中一种重要的理论，它提供了在各种结构中找到满足特定方程的点的方法。这种方法尤其适用于证明方程解的存在性。在这项研究中，固定点理论被用来证明非线性P-拉普拉斯方程径向收敛的有界正解的存在性。这意味着存在一个特定的条件，满足该条件的函数可以被认为是非线性P-拉普拉斯方程的解。
径向解是P-拉普拉斯方程的一种特殊类型的解，它仅依赖于空间变量的径向距离，而与角度无关。径向解的一个重要特征是它们可以表示为球对称，这在物理上很有意义，因为很多物理系统具有旋转对称性。径向收敛的有界正解是指解在径向上是有界的，并且解函数的值是正的。
在这篇论文中，作者不仅运用了固定点理论，还参考了其他学者的成果，如Z.Yang、H.Liu、N.Su、H.Yin等人的先前研究，这些研究已经获得了非线性P-拉普拉斯方程有界正解的存在性的几个重要结果。但是，张曙光、赵蕾和郭智通过引入更一般的非线性项条件，进一步扩展了这些结果。
总结来说，这篇论文的主要贡献是证明了非线性P-拉普拉斯方程在非线性项非常一般的条件下径向收敛的有界正解的存在性。该研究不仅加深了我们对非线性微分方程理论的理解，而且对非牛顿流体力学和地下水流模型的理论研究及实际应用都具有重要的意义。通过这项研究，科研工作者们可以更深入地理解非牛顿流体的性质，并可能在相关领域的实际问题中寻找到有效的解决方法。
