快速傅立叶变换算法

正像这一章的概述中所提到的，我们使用的是surrus[111]提出的术语，他将所有的快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法简单地根据不同的（多维）输入输出序列的索引映射进行分类。这是建立在长度为N的DFT（6．2）： 　　到多维N＝IIlaNl的表达式的变换基础之上的。—般情况下，只需要讨论两个因子的情形就足够了，因为更高的维数可以通过简单地反复迭代替换其中的一个因子就能够实现。为了简化表达式，我们在此只在二维索引映射变换内讨论3种FET算法。 　　将（时域）索引n用： 　　进行交换，其中N＝N1N2，且A，B∈Z是以后必须定义据下面的公式： 快速傅立叶变换（FFT）算法是一种高效计算离散傅立叶变换（DFT）的算法，极大地减少了计算量，特别是在处理大型数据集时。它基于分治策略，通过将大问题分解为小问题来解决，然后组合这些小问题的答案以获得最终结果。在本文中，我们将探讨Surrus提出的分类方法，以及对二维索引映射变换的讨论。 DFT是将一个时间序列转换为其频率域表示的过程。长度为N的DFT将一个N点的时间序列转换为N点的频率序列。FFT算法则提供了一种更有效的方法来实现这个转换。Surrus将FFT算法按照多维输入输出序列的索引映射进行分类，这在处理多维数据时尤其有用。 通常，对于二维情况，只需要考虑两个因子N1和N2，因为更高维度可以通过重复应用这两个因子的变换来实现。这里，我们关注的是二维索引映射变换，涉及到将时域索引n转换为新的坐标（n1, n2），其中N = N1 * N2，A和B是整数，其值由后续公式定义。这种映射有助于组织和操作数据，以便进行有效的计算。 在输出（频域）域中，另一个索引映射k会被应用，形成新的频率坐标（k1, k2），此时C和D是需要定义的常数，确保变换为双映射投影，即每个时域样本唯一对应一个频率域样本。Burrus的研究给出了如何为特定的N1和N2选择合适的A、B、C和D，以确保双映射性。 区分不同FFT算法的一个关键点在于N1和N2是否可以有公因数。如果gcd(N1, N2) > 1，这类算法被称为公共因数算法（CFA），如Cooley-Tukey FFT。如果gcd(N1, N2) = 1，则称为质数因数算法（PFA），如Good-Thomas和Winograd FFT。Cooley-Tukey算法可以在N1和N2互质的情况下有效实现，而对于PFA，N1和N2本身必须互质，但它们不一定是质数。举例来说，长度为12的变换可以用N1=4和N2=3分解，既可适用于CFA也可适用于PFA。 快速傅立叶变换算法是信号处理和数字信号分析中的核心技术，其效率和灵活性使其在众多领域如图像处理、音频分析、通信系统等中都有广泛的应用。理解Surrus的分类方法和不同类型的FFT算法可以帮助我们更有效地选择和实现适合特定任务的变换策略。