在这一部分中，我们将详细探讨关于流行病模型的全局分析的知识点，这些知识点主要涉及以下内容：流行病模型的分类、SIS模型的基本假设、平衡点的概念、Dulac函数的使用、以及如何通过局部稳定性和全局稳定性分析来预测流行病的传播趋势。
流行病模型的分类：
流行病模型通常根据疾病在人群中的传播方式和特点来分类，主要包括SI模型、SIS模型、SIR模型和SIRS模型。SI模型仅考虑易感者(Susceptible)和感染者(Infectious)，SIS模型在SI的基础上增加了感染者恢复后重新成为易感者的情况，SIR模型引入了移除者(Recovered)，而SIRS模型则假设移除者恢复后可以再次变成易感者。本文主要研究SIS模型，它适用于那些感染者可以恢复但不具有永久免疫力的情况，如某些类型流感。
SIS模型的基本假设：
模型假设在没有流行病的情况下，总种群数量(N)的生长服从以b表示的单位个体生育率减去以d表示的自然死亡率的微分方程。一旦流行病出现在种群中，流行病的传播遵循双线性传染率βSI，其中S表示易感者数量，I表示感染者数量。β是传染率参数，它决定了疾病传播的速率。
平衡点的概念：
在SIS模型中，平衡点是指种群数量和感染者数量随时间变化不发生改变的点。平衡点可以分为无病平衡点和地方病平衡点。无病平衡点指的是在没有疾病存在时种群所处的状态，而地方病平衡点是在疾病持续存在时种群所处的状态。
Dulac函数的使用：
Dulac函数是用于判断微分方程系统是否存在闭轨的数学工具。在流行病模型中，通过构造Dulac函数可以研究平衡点的局部稳定性和全局稳定性，从而预测疾病是否会最终消失或是成为一种持续存在于种群中的地方病。
局部稳定性和全局稳定性的分析：
局部稳定性分析关注的是当系统状态在平衡点附近时系统的稳定行为。如果在平衡点附近的微小扰动会导致系统返回平衡点，则称该平衡点是局部稳定的。而全局稳定性分析则关注系统在整个定义域内的稳定行为，即使在远离平衡点的初始条件下，系统最终也会趋向于某个平衡点。对于SIS模型，研究者们通过分析无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性，并构造相应的Dulac函数，可以证明在一定条件下，无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性，这有助于理解疾病的传播动态。
一类SIS流行病传染模型的全局分析，揭示了疾病在不同条件下传播和消失的数学机制，为疾病的控制和预防提供了理论依据。通过合理设定模型参数，并对模型进行细致的数学分析，可以更好地预测和控制实际中的流行病发展情况。这类研究对于公共卫生管理、疾病预防和控制具有重要意义。
