2009
年
3
月
第
40
卷第
2
期
内蒙古大学学报(自然科学版)
lournal
of
lnner
Mongolia
University
Mar.
2009
Vo
l.
40
No.2
文章编号
:1000
一
1638(2009)02-0143-06
广义
Riccati
方程有理展开法
在非线性差分一微分方程中的应用带
陈向华，李妹敏
〈包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头
014030)
摘要:将广义
Riccati
方程有理展开法应用于求解非线性差分-微分方程.并在符号计算机系统
Maple
的帮助下，以离散的非线性
mKdV
lattice
方程和离散的非线性
(2+
1)维
Toda
lattice
方
程为例，得到了一些新的精确解，其中包括双曲函数解和三角函数解.
关键词:非线性差分-微分方程
;Riccati
方程;离散的非线性
mKdV
lattice
方程;离散的非线性
(2+
1)维
Toda
lattice
方程;精确解
中图分类号
:0175.29
文献标识码
:A
近年来，在孤子理论中，离散非线性系统的求解越来越引起人们的关注.一些求解连续非线性发
展方程的有效方法相继应用于非线性差分-微分方程，例如，李群理论法C1J、双曲函数法
(4.5)
、
Hirota
法
(6.71
、
Wronskian
行列式法
(8) 、
Jacobi
椭圆函数展开法
(9)
、
tanh-
函数法
ω.11)
、推广的
tanh-
函数法〔川、
投影的
Roccati
方程法(1
3-j5)
、辅助方程法〔川等等.本文将
Riccati
方程的有理展开法应用于非线性差
分-微分方程，得到了离散的非线性
mKdV
!attice
方程和离散的非线性
(2+
1)维
Toda
!attice
方程的
新精确解.
l
方法与步骤
对于给定的差分微分方程
6
(un
+Þt
(x
,
t)
, … , U
n
+
Pk
(x
,
t)
,
U'
n+
Pt
(x
,
t)
，
…，
ufn+
凡
(x
，
t)
，
…，
uJLIb
，吟，…
，
u~
1-
p/x
，
t))
= 0
(1)
其中
U
是独立变量
(Uj
,
U2'
… )
，
x
是独立变量
(Xj'
巧，…
)
，
u
，<
r)
表示
Ui
关于
Z
的
r
阶偏导数.作变换
Un
+þ
/n
,x ,
t)
=
u(~n)
，(l
=
1
，
2
，…，剖，
ι
=dn
+
ωt
十
λ
x
(2)
其中
d
，
ω
，
iì
是常数.将
(2)
代入(1)中，得
6
(u
n
+
Pt
(ι)
,…
,U
n
+
pk
(~n)
,
U'
n+pt
(已)
，…
，
U'n+Pk(~n)'
…
，
u~
1-
Pt
(已)
，…，
uJL
是
(~n))
=
0
(3)
取方程
(3)
的解为
专
，
Airp
(~n
)
寻飞
A
irp(~n
+k)
n
=
Ao
十>;
/ D
-
-,
r
D'
',:;
e:
,\",
Un
+k
Ao
+
>;
云
14
(Bo
十
B
j
伊
(~n))i'
十云
t
(B
o
+
BjCP(~n
+k
))i
其中例已)满足下列
Riccati
方程(3)
qJ
(t)
=ρ
+q
扩
(~n)
并且伊(已
+k)
可以表示成以已)的多项式.即
伊(已
+k
)=
φ
(~n)
*收稿日期:
2008-12-31
基金项目:内蒙古高等学校科学研究资助项目的
Jzc08134)
作者简介:陈向华Cl
954~).
女，广西桂平入，副教授.研究方向
z
微分方程的应用.
(4)
(5)
(6)
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