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应用广义Laguerre函数的Navier-Stokes方程

外部问题混合谱方法

焦裕建，郭本瑜

上海师范大学数理学院，上海　200234

摘要：本文研究应用广义Laguerre函数的四阶非线性偏微分方程外部问题混合谱方法. 我们构

造了圆外Navier-Stokes方程流函数形式的混合谱方法, 数值结果显示了该方法在空间方向的谱

精度。

关键词：谱方法, 四阶外部问题, Navier-Stokes方程

中图分类号： O174.41; O241.82

Mixed spectral method for exterior problem of

Navier-Stokes equations by using generalized

Laguerre functions

JIAO Yu-Jian, GUO Ben-Yu

Department of Mathematics, Shanghai Normal University, Shanghai 200234

Abstract: In this paper, we investigate the mixed spectral method using generalized

Laguerre functions, for exterior problems of partial diﬀerential equations of fourth order. A

mixed spectral scheme is provided for the stream function form of the Navier-Stokes equations

outside a disc. Numerical results demonstrate the spectral accuracy in space.

Key words: Spectral method, exterior problems of fourth order, Navier-Stokes equations.

0 引言

Navier-Stokes方程在研究不可压缩流体中起着重要作用, 通常采用有限差分和有限元方法

进行数值计算. 有些学者提出了一些计算Navier-Stokes方程的谱方法[1, 2, 3, 4], 然而仅适用于

周期问题和有界矩形区域上的问题. 一个具有挑战性的问题是:我们能否使用谱方法获得精确数

值解? 最近, 郭本瑜等[5]研究了二阶线性模型的圆外对称解问题，郭本瑜等[6]还研究了三维二

阶外部问题的谱格式.

本文研究四阶外部问题的混合谱方法. 我们首先建立了一些应用广义Laguerre函数的正交

逼近结果, 它们在具有球面几何的外部问题谱方法研究中起着重要作用. 接下来, 我们构造单位

基金项目：国家自然科学基金资助项目(N.10871131)，高等学校博士学科点专项科研基金资助课题(N.200802700001)，上

海市科委科技攻关资助项目(N.075105118)，上海市重点学科建设资助项目(S30405)，上海高校E-研究院基金资助(E03004)

作者简介：焦裕建（1968-），男，副教授，主要研究方向：谱方法。

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圆外Navier-Stokes方程流函数形式的混合谱格式, 并分析它的广义稳定性和收敛性. 这个方法

有以下一些优点:

•不需近似处理障碍物表面上的边界条件, 特别是避免了处理边界上速度和压力的困难.

• 只需计算流函数, 不再计算速度和压力, 从而节省计算量. 特别是数值解自动满足不可压

缩性.

• 得益于正交逼近的快速收敛性使得数值解在空间方向具有谱精度.

1 预备知识

我们首先考虑应用广义Laguerre函数的正交逼近. 令Λ = { ρ | 0 < ρ < ∞}, χ(ρ) 是权函

数. 对于任意的整数m ≥ 0, 我们象通常一样定义带权空间H

(Λ)具有内积(u, v)

m,χ,Λ

, 半范

数|v|

m,χ,Λ

和范数kvk

m,χ,Λ

. 当χ(ρ) ≡ 1时, 我们省略符号χ. 特别地，我们用(u, v)

χ,Λ

和kvk

χ,Λ

表

示空间L

(Λ)中的内积和范数.

令ω

α,β

(ρ) = ρ

−βρ

, 其中α > −1, β > 0. 广义Laguerre函数定义如下:

(α,β)

(ρ) = e

−

βρ

(α,β)

(ρ) =

−α

βρ

∂

(ρ

l+α

−βρ

), l ≥ 0.

全体

(α,β)

(ρ)所组成的集合是一个L

(Λ)−完备正交系, 即

(

(α,β)

)

(

(α,β)

, l = m,

0, l 6= m,

(1)

这里γ

(α,β)

Γ(l + α + 1)

α+1

. 对于任意v ∈ L

(Λ), 我们有

v(ρ) =

∞

l=0

˜v

(α,β)

(ρ), ˜v

(α,β)

(v,

(α,β)

)

,Λ

. (2)

为了研究外部问题, 我们需要一些准备工作. 记ζ

(ρ) = (1 + ρ)

−βρ

和

(Λ) = { v ∈ H

(Λ) | v(0) = 0},

(Λ) = { v ∈ H

(Λ) | v(0) = ∂

v(0) = 0}.

接下来, 用N 表示任意的正整数. P

(Λ) 表示次数不超过N的代数多项式集合, 并记

(Λ) = P

(Λ) ∩ { v | v(0) = 0},

∗

(Λ) = P

(Λ) ∩ { v | v(0) = ∂

v(0) = 0}.

正交投影

N,β,Λ

(Λ) →

(Λ)定义如下:

(∂

(v −

N,β,Λ

v), ∂

φ)

,Λ

+ (v −

N,β,Λ

v, φ)

,Λ

= 0, ∀φ ∈

(Λ).

根据文献[8]的引理A.1, 如果v ∈

(Λ), ∂

v ∈ L

r+1,β

(Λ) 和整数3 ≤ r ≤ N + 1, 那么,

kv −

N,β,Λ

(Λ)

≤ c(β

)(βN)

3−r

k∂

r+1,β

,Λ

. (3)

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今后, 我们用c表示一个不依赖于β, N和任意函数的正常数.

正交投影

N,β,Λ

(Λ) →

∗

(Λ)定义如下:

(∂

(v −

N,β,Λ

v), ∂

φ)

,Λ

+ (∂

(v −

N,β,Λ

v), ∂

φ)

,Λ

+(v −

N,β,Λ

v, φ)

,Λ

= 0, ∀φ ∈

∗

(Λ).

根据文献[8]的引理2.5, 如果v ∈

(Λ), ∂

v ∈ L

r,β

(Λ) 和整数4 ≤ r ≤ N + 1, 那么

N,β,Λ

v − vk

2,ζ

,Λ

≤ c(1 +

)(βN)

4−r

k∂

r,β

,Λ

. (4)

现在, 我们研究应用广义Laguerre函数的正交投影. 令

(ρ+1)

(Λ) = { v | v ∈ H

(ρ+1)

(Λ) 且 v(0) = 0},

(ρ+1)

(Λ) = { v ∈ H

(ρ+1)

(Λ) | v(0) = ∂

v(0) = 0}.

我们还记Q

N,β

(Λ) = { e

−

βρ

ψ | ψ ∈ P

(Λ)},

N,β

(Λ) = { e

−

βρ

ψ | ψ ∈

(Λ)} 和

∗

N,β

(Λ) = { e

−

βρ

ψ | ψ ∈

∗

(Λ)}.

正交投影

N,β,Λ

(ρ+1)

(Λ) →

N,β

(Λ)定义如下:

(∂

(v −

N,β,Λ

v), ∂

φ)

(ρ+1)

,Λ

+ (v −

N,β,Λ

v, φ)

(ρ+1)

,Λ

= 0, ∀ φ ∈

N,β

(Λ).

(5)

引理1.1 若v(ρ) ∈

(ρ+1)

(Λ) 且∂

βρ

v(ρ)) ∈ L

r+1,β

(Λ), 则对整数3 ≤ r ≤ N + 1,

N,β,Λ

v − vk

1,(ρ+1)

,Λ

≤ c(β

)(βN)

3−r

k∂

βρ

v)k

r+1,β

,Λ

. (6)

证明: 记

N,β,Λ

v = e

−

βρ

N,β,Λ

βρ

v). 由计算可得

k∂

(

N,β,Λ

v − v)k

(ρ+1)

,Λ

≤ c

(ρ + 1)

−βρ

((∂

(

N,β,Λ

βρ

v) −e

βρ

v))

+β

(

N,β,Λ

βρ

v) −e

βρ

)dρ.

(7)

N,β,Λ

v − vk

(ρ+1)

,Λ

(ρ + 1)

−βρ

(

N,β,Λ

βρ

v) −e

βρ

dρ. (8)

令

φ(ρ) =

N,β,Λ

v(ρ) ∈

N,β

(Λ). 根据投影定理, (7), (8)和(3) 得到

N,β,Λ

v − vk

1,(ρ+1)

,Λ

≤ k∂

(v −

φ)k

(ρ+1)

,Λ

+ kv −

φk

(ρ+1)

,Λ

≤ c(β

)(βN)

3−r

k∂

βρ

v)k

r+1,β

,Λ

. 

正交投影

N,β,Λ

(ρ+1)

(Λ) →

∗

N,β

(Λ) 定义如下:

(∂

(v −

N,β,Λ

), ∂

φ)

(ρ+1)

,Λ

+ (∂

(v −

N,β,Λ

v), ∂

φ)

(ρ+1)

,Λ

+(v −

N,β,Λ

v, φ)

(ρ+1)

,Λ

= 0, ∀ φ ∈

∗

N,β

(Λ).

(9)

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