本篇2013年发表的学术论文主要研究了一类具有无限延迟的中立型分数次发展方程的初值问题，具体知识点如下：
1. Krasnoselkii不动点定理：该定理是研究函数方程解的存在性问题的重要工具之一，在固定点理论中占有重要位置。Krasnoselkii定理通常用于证明在Banach空间中，某些类型的算子映射存在不动点。不动点是指满足方程T(x) = x的点，其中T代表一个特定的算子。该定理的一个典型应用场景是在证明发展方程或积分方程解的存在性时。本论文将此定理应用于中立型分数次发展方程的研究，得到mild解的存在性定理。
2. 分数次发展方程（Fractional differential equations）：这类方程是传统整数阶微分方程的推广，其中微分算子的阶数是分数形式。分数微分方程在物理、工程、生物学以及经济学等领域都有广泛的应用，特别是在描述具有记忆或遗传特性的复杂过程时。在本论文中，分数次发展方程是指包含分数导数的微分方程。
3. 中立型发展方程（Neutral differential equations）：这类方程涉及函数及其导数的滞后项，也就是说方程中不仅包含变量的当前值，还包含变量在之前的某个时刻或一段时间内的值。在处理具有延迟效果的问题，如在生物学种群动态模型、工业控制系统等领域中，中立型发展方程显得尤为重要。
4. Mild解（Mild solution）：在泛函分析中，mild解是非线性发展方程的一种弱解概念。与传统意义上的强解（即具有足够光滑性的解）相比，mild解往往不要求解具有高阶导数的光滑性。在许多情况下，mild解更加容易存在，尤其适合于用不动点定理来研究。
5. Caputo意义下的分数次微分：在数学中，分数次导数有多种不同的定义方式，其中Caputo导数是一种比较常用的形式。Caputo分数微分定义结合了整数阶导数和黎曼-刘维尔（Riemann-Liouville）分数微分的特点，特别适合于初始值问题的研究，因为它可以将初始条件表述在传统的形式上。
6. Banach空间：这是完整的赋范线性空间，其中的范数能够满足完备性条件。在现代泛函分析和数学物理中，Banach空间提供了一种强有力的数学框架，用来研究各种微分方程和积分方程。
7. 不动点定理的应用：在本文中，作者利用不动点定理证明了一类具有无限延迟的中立型分数次发展方程mild解的存在性。通过将问题转化为在某个适当的Banach空间中的不动点问题，从而证明了解的存在性。这种方法为研究类似问题提供了一种强有力的数学工具和理论依据。
8. 例子验证：为了验证理论分析的有效性，作者给出了一个具体例子，并用此例子来展示所提出理论的应用。这种例子在数学论文中通常是用来说明理论结果的实用性，同时也帮助读者更好地理解和掌握理论知识。
这篇论文在数学的理论研究领域提供了对一类特殊的中立型分数次发展方程初值问题的深入探讨，并利用Krasnoselkii不动点定理得到了mild解的存在性定理，进一步通过具体的例子验证了定理的有效性，这对于推动该领域的发展具有一定的理论意义和应用价值。
