基于连接函数的投影寻踪主成分分析 (2011年)

基于连接函数的相依度量,提出了一种探索连续型随机向量之间相关关系的方法.通过连接函数构造的投影指标函数可以给出高维随机向量的投影寻踪主成分分析,并且可以证明这样得到的最优样本投影方向具有强相合性.此外,又给出了两个以上随机向量之间的典型相关分析.结果表明所提出的方法具有优良的理论性和实用前景. ### 基于连接函数的投影寻踪主成分分析 #### 概述 本文提出了一种新的探索连续型随机向量之间相关关系的方法——基于连接函数的投影寻踪主成分分析（PCA）。该方法利用连接函数（Copula）来衡量高维随机向量之间的依赖关系，并构建了投影指标函数来实现高维数据的有效降维。此外，文中还讨论了如何通过该方法进行典型相关分析。 #### 投影寻踪与连接函数 **投影寻踪**是一种有效的降维技术，通过将高维数据投影到低维空间（通常是1至3维），以便更直观地观察数据结构和潜在模式。这一过程的核心在于选择合适的投影方向，通常通过定义一个投影指标函数来实现。该指标函数用于量化不同投影方向上的数据分布特性，从而帮助确定最佳投影方向。 **连接函数（Copula）**则是一种强大的工具，用于描述随机变量之间的依赖关系，尤其适用于非线性依赖情形。通过连接函数可以将复杂的多变量分布分解为边际分布和一个描述变量间相互作用的函数部分，这使得我们能够在不假设特定数据分布的情况下探索变量之间的依赖结构。 #### 方法介绍 本文提出的方法结合了投影寻踪与连接函数的优势，旨在解决传统PCA方法在处理非线性依赖关系时的局限性。具体而言： 1. **投影指标函数构造**：通过构造一个基于连接函数的投影指标函数，该函数能够捕捉到数据集中的非线性依赖关系。指标函数的形式为： \[ ‖C‖_{L^2} = \left(\int \ldots \int_I |C_{a_1,\ldots,a_k}(u_1,\ldots,u_k) - u_1\ldots u_k|^2 du_1 \ldots du_k\right)^{\frac{1}{2}} \] 其中，$C_{a_1,\ldots,a_k}(u_1,\ldots,u_k)$ 是投影后的随机变量 $a_1^TX,\ldots,a_k^TX$ 之间的连接函数。目标是找到使得 $‖C‖_{L^2}$ 达到最小值的投影方向矩阵 $A$。 2. **样本估计**：对于具体的样本数据集，通过经验连接函数来估计上述指标函数中的连接函数部分。经验连接函数是一种非参数估计方法，能够灵活适应不同的数据分布形态，避免了对特定参数形式的依赖。 3. **主成分分析**：通过调整投影维度 $k$ 的值，可以实现投影寻踪主成分分析。这种方法不仅能够识别数据中的主要变化趋势，还能揭示潜在的非线性依赖结构。 #### 典型相关分析 除了主成分分析外，该方法还可以扩展到多个随机向量之间的典型相关分析。具体做法是： - 定义两个随机向量 $X$ 和 $Y$ 之间的连接函数 $C(a^TX, b^TY)$。 - 构建相应的投影指标函数，并寻找最大化该指标的 $(a, b)$ 对，从而获得两个向量间的最大相关性。 - 进一步可以继续寻找次大相关性等，从而给出一系列典型的关联向量对。 #### 结论 基于连接函数的投影寻踪主成分分析提供了一种新颖且有效的方法，用于探索和揭示高维数据集中的复杂依赖结构。这种方法不仅具有良好的理论基础，而且在实际应用中也表现出很强的实用性。通过使用连接函数和非参数的经验连接函数估计，该方法能够有效处理非线性依赖问题，并且在多种数据分析任务中展现出广阔的应用前景。