使用Python求解最大公约数的实现方法
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2020-12-23
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使用使用Python求解最大公约数的实现方法求解最大公约数的实现方法
1. 欧几里德算法欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法， 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
证明：
a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数， 则有 d|a, d|b, 而r = a – kb, 因此d|r。
因此，d是(b, a mod b)的公约数。
加上d是(b，a mod b)的公约数，则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德的Python语言描述为：
def gcd(a, b):
if a < b:
a, b = b, a
while b != 0:
temp = a % b
a = b
b = temp
return a
2. Stein算法算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是理论，还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个
缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位， 对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平
台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更
大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位除
法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情
况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的
移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a, a) = a， 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数比
如能被2整除。
Stein算法的python实现如下：
def gcd_Stein(a, b):
if a < b:
a, b = b, a
if (0 == b):
return a
if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
if a % 2 == 0:
return gcd_Stein(a / 2, b)
if b % 2 == 0:
return gcd_Stein(a, b / 2)
return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)
3. 一般求解实现一般求解实现
核心代码很简单：
def gcd(a, b):
if b == 0:return a
return gcd(b, a % b)
附上一个用Python实现求最大公约数同时判断是否是素数的一般方法：
程序如下:
#!/usr/bin/env python
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