关于近于凸函数类的一个扩展 (1984年)

本文主要研究了近于凸函数类的一个扩展问题，并探讨了这一函数类与Bieberbach猜想的联系，同时也对扩展后的函数类的一些性质进行了研究。本文的作者是朱清新，来自北京工业学院基础科学部。 文章给出了函数类C的定义。函数类C最初是由Kaplan在1952年提出的，该函数类的定义涉及到在单位圆盘D上解析的函数f(z)。接下来，文章介绍了函数类C的扩展类C'，以及吴卓人关于C'类函数的研究成果。吴卓人证明了C'类函数满足Bieberbach猜想，即部分和的近于凸半径等于单位圆盘的半径以及映照性质。 然后，文章定义了一个更大的函数类B，并通过引入函数ψ(z)，给出了类B的函数需要满足的条件。文章指出，函数类B包含了函数类C'，即C'是B的一个子集。 文章接着给出了几个引理，这些引理是对函数类P(α)中的函数在单位圆盘D上的解析性质的描述。这些引理为后续定理的证明提供了理论基础。 接着，文章证明了一个定理，该定理给出了函数类B中函数的偏差性质。通过这个定理，可以对函数类B中函数的复数导数的实部进行估计。此外，文章还提出了关于函数类B的单叶半径和旋转定理的研究。 文章中的定理1、定理2和定理3分别给出了函数类B中函数在特定条件下的导数性质。这些定理表明，函数类B中的函数具有与Bieberbach猜想相关的特定性质。 定理4是关于函数类B中函数的单叶性的研究。通过该定理可以得出，当|z|<0.34时，函数类B中的函数在单位圆盘D上是单叶的。 在研究了函数类B的单叶性后，文章引用了Wolff-Noshiro引理，并由此得出函数类B中的函数在单位圆盘的特定区域内单叶的结论。这一结论与函数类C'的单叶性质形成了对比，并且进一步支持了函数类B的性质研究。 通过对函数类C及C'的扩展，以及对扩展后的函数类B的研究，本文不仅扩展了近于凸函数类的研究领域，而且还为研究Bieberbach猜想提供了新的视角和工具。文章的研究成果可能对于解析函数理论、复变函数论以及相关领域的研究具有一定的理论和实际意义。