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非线性有限元方法及实例分析
梁军
河海大学水利水电工程学院，南京（210098）
摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线
性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。
关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析
1 引 言
有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从
固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被
广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题
加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有 3 种类型
[1]
：
1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性）
2．几何非线性问题
3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性）
2 非线性方程组的求解
在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一
个非线性代数方程组[2]：
()
()
()
0
0
0
21
212
211
=
……
=
=
nn
n
n
δδδ
ψ
δδδ
ψ
δ
δ
δ
ψ
Λ
Λ
Λ
（1.1）
其中
n
δ
δ
δ
,,,
21
Λ
是未知量，
n
ψ
ψ
ψ
,,,
21
Λ
是
n
δ
δ
δ
,,,
21
Λ
的非线性函数，引用矢量记
号
[]
T
n
δδδδ
Λ
21
＝
（1.2）
[]
T
n
ψψψψ
Λ
21
=
（1.3）
上述方程组（1.1）可表示为
()
0=
δ
ψ
（1.4）
可以将它改写为
() () ()
0
=
−≡−≡ RKRF
δ
δ
δ
δ
ψ
（1.5）
其中
()
δ
K
是一个 的矩阵，其元素 是矢量的函数，
nn×
ij
k
R
为已知矢量。在位移有限
元中，
δ
代表未知的结点位移，
(
)
δ
F
是等效结点力，
R
为等效结点荷载，方程
()
0=
δ
ψ
表
示结点平衡方程。
在线弹性有限元中，线性方程组
-1-
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