文章目录1、Harris角点检测1.1 基本概念1.2 数学表达2、实现与测试2.1 代码2.2 运行结果2.3 参数变化2.3.1 其他不变，改变k（此时sigma=3）2.3.2 其他不变，改变sigma（k=0.04）
1、Harris角点检测
1.1 基本概念
角点：窗口向任意方向的移动都导致图像灰度的明显变化。
1.2 数学表达
将图像窗口平移[u,v]产生灰度变化E(u,v)：
那么，如何求解平移后的图像灰度I(x+u,y+v)，以及灰度变化E(u,v)呢？
将I(x+u, y+v)函数在(x, y)处泰勒展开，得：
则可求得灰度变化:
于是对于局部微小的移动量 [u,v
### Harris角点检测
#### 1.1 基本概念
角点是图像处理中的一个重要概念，在图像特征提取和匹配领域中具有重要的应用价值。简单来说，角点是指那些在一定窗口范围内移动时，无论往哪个方向移动都会引起图像灰度显著变化的点。这些点通常位于图像中的边界交汇处或者纹理丰富的地方。角点因其稳定性高、易于匹配等特性而在图像匹配、物体识别等领域被广泛使用。
#### 1.2 数学表达
为了更好地理解角点的数学定义，我们可以通过以下步骤来推导角点的数学模型。
1. **图像窗口平移与灰度变化**：
当我们将一个固定大小的窗口在图像上进行平移时，如果这个窗口内的灰度变化非常大，那么这个窗口中心的点很可能就是一个角点。为了量化这种灰度的变化，我们可以定义一个能量函数 \( E(u,v) \) 来表示窗口平移后图像的灰度变化。这里的 \( u \) 和 \( v \) 分别代表窗口在水平和垂直方向上的平移距离。
2. **泰勒展开与灰度变化的求解**：
对于平移后的图像灰度 \( I(x+u, y+v) \)，我们可以通过在当前点 \( (x, y) \) 处对 \( I(x+u, y+v) \) 进行泰勒展开来近似求解其值。假设图像在 \( (x, y) \) 点的梯度为 \( I_x, I_y \)，那么根据泰勒公式，有：
\[
I(x+u, y+v) \approx I(x, y) + I_x u + I_y v
\]
从而灰度变化 \( E(u, v) \) 可以表示为：
\[
E(u, v) = \sum_{x, y} w(x, y) [I(x+u, y+v) - I(x, y)]^2
\]
3. **灰度变化的简化**：
通过将上面的泰勒展开式代入到 \( E(u, v) \) 的定义中，可以得到：
\[
E(u, v) \approx \begin{pmatrix}
u & v
\end{pmatrix}
M
\begin{pmatrix}
u \\
v
\end{pmatrix}
\]
其中 \( M \) 是一个 \( 2 \times 2 \) 的矩阵，表示为：
\[
M =
\begin{pmatrix}
\sum_{x, y} w(x, y) I_x^2 & \sum_{x, y} w(x, y) I_x I_y \\
\sum_{x, y} w(x, y) I_x I_y & \sum_{x, y} w(x, y) I_y^2
\end{pmatrix}
\]
4. **角点响应函数**：
对于局部微小的移动量 [u,v]，可以近似得到下面的表达：
\[
E(u, v) = \lambda_1 u^2 + 2\lambda_2 uv + \lambda_3 v^2
\]
其中，\( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) 是实对称矩阵 \( M \) 的特征值。角点响应函数 \( R \) 定义为：
\[
R = det(M) - k \cdot trace^2(M)
\]
其中 \( det(M) \) 表示矩阵 \( M \) 的行列式，\( trace(M) \) 表示矩阵 \( M \) 的迹，而 \( k \) 是一个介于 0 和 0.25 之间的经验值，常用值为 0.04 或 0.06。
#### 2. 实现与测试
#### 2.1 代码
接下来，我们来看一下Harris角点检测的Python实现代码片段：
```python
from pylab import *
from PIL import Image
from PCV.localdescriptors import harris
from scipy.ndimage import filters
def compute_harris_response(im, sigma=3):
# 在一幅灰度图像中，对每个像素计算Harris角点检测器响应函数
k = 0.04
imx = zeros(im.shape)
filters.gaussian_filter(im, (sigma, sigma), (0, 1), imx)
imy = zeros(im.shape)
filters.gaussian_filter(im, (sigma, sigma), (1, 0), imy)
# 计算Harris矩阵分量
Wxx = filters.gaussian_filter(imx * imx, sigma)
Wxy = filters.gaussian_filter(imx * imy, sigma)
Wyy = filters.gaussian_filter(imy * imy, sigma)
# 计算矩阵的特征值和迹
Wdet = Wxx * Wyy - Wxy ** 2
Wtr = Wxx + Wyy
# 返回像素值为Harris响应函数值的一幅图像
return Wdet / Wtr
# 读入图像
im = array(Image.open('p3.jpg').convert('L'))
# 检测Harris角点
harrisim = compute_harris_response(im)
# 显示Harris响应图
harrisim1 = 255 - harrisim
figure()
gray()
subplot(141)
imshow(harrisim1)
print(harrisim1.shape)
axis('off')
axis('equal')
threshold = [0.01, 0.05, 0.1]
for i, thres in enumerate(threshold):
# 获取Harris角点
filtered_coords = harris.get_harris_points(harrisim, 6, thres)
# 显示角点
subplot(1, 4, i+2)
imshow(im)
plot([p[1] for p in filtered_coords], [p[0] for p in filtered_coords])
```
#### 2.2 运行结果
在运行上述代码之后，可以得到一系列的图像，包括原始图像和不同阈值下的Harris角点检测结果。这些结果可以帮助我们直观地看到不同参数设置下的角点检测效果。
#### 2.3 参数变化
为了进一步理解Harris角点检测的效果，我们可以尝试改变两个主要参数：\( k \) 和 \( \sigma \)。
##### 2.3.1 其他不变，改变k（此时sigma=3）
- **改变k的影响**：\( k \) 的值会影响角点响应函数 \( R \) 的计算结果。当 \( k \) 较小时，更倾向于检测到较多的角点，但可能会包含一些噪声；当 \( k \) 较大时，则只保留少数高质量的角点。
- **实验结果**：通过改变 \( k \) 的值，观察角点数量和质量的变化。
##### 2.3.2 其他不变，改变σ（k=0.04）
- **改变σ的影响**：\( \sigma \) 控制着高斯滤波器的宽度，即对图像的平滑程度。较大的 \( \sigma \) 值会使得图像变得更加平滑，减少细节，但也可能导致部分角点丢失；较小的 \( \sigma \) 值能够保留更多细节，但可能会引入噪声。
- **实验结果**：通过改变 \( \sigma \) 的值，观察角点数量和质量的变化。
通过上述理论分析和实验操作，我们可以更深入地理解Harris角点检测算法的工作原理及其在实际应用中的表现。
