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第 31 卷第 3 期

Vol. 31 No. 3

控制与决策

Control and Decision

2016 年 3 月

Mar. 2016

一类不确定切换中立型系统的鲁棒滑模控制

文章编号: 1001-0920 (2016) 03-0521-07 DOI: 10.13195/j.kzyjc.2014.1919

肖会敏

, 刘振

(1. 河南财经政法大学信息与系统工程研究所，郑州 450003；2. 中国海洋大学数学科学学院，山东青岛 266100)

摘要: 针对一类不确定切换中立型系统, 设计相应的积分型滑模面. 基于平均驻留时间方法和线性矩阵不等式技

术, 给出滑模动力学系统鲁棒指数渐近稳定的时滞相关性判据. 通过设计滑模控制器, 使闭环系统的状态满足到达条

件. 数值仿真表明, 所提出的方法是有效可行的.

关键词: 切换中立型系统；指数镇定；平均驻留时间；积分滑模控制

中图分类号: TP273 文献标志码: A

Robust sliding mode control for a class of uncertain switched neutral

systems

XIAO Hui-min

, LIU Zhen

(1. Institute of Information and Systems Engineering，He’nan University of Finance and Economics，Zhengzhou

450003，China；2. School of Mathematical Sciences，Ocean University of China，Qingdao 266100，China.

Correspondent：LIU Zhen，E-mail：liuzhen8788@163.com)

Abstract: An integral sliding surface is constructed for a class of uncertain switched neutral systems. Based on the

average dwell time approach and the linear matrix inequality technique, a delay-dependent robust exponential stability

criterion is presented for sliding mode dynamics(SMDs) with all admissible uncertainties under some decay rate. An sliding

mode control(SMC) law is synthesized for reaching motion. A numerical simulation example illustrates the feasibility and

effectiveness of the proposed method.

Keywords: switched neutral systems；exponential stabilization；average dwell time；integral sliding mode control

0 引引引言言言

切换系统是混杂动态系统的一个重要分支, 它由

一系列连续或离散的子系统以及协调这些子系统之

间切换运行的规则组成. 在化工过程、传输系统、计

算机控制系统以及通讯工业等实际系统中, 切换系统

都有着广泛的应用. 近年来, 切换系统的稳定性与镇

定性等问题引起了众多学者的关注

[1-2]

. 此外, 时滞的

存在使系统的分析与综合变得更加复杂和困难, 也往

往是系统失稳和性能变差的主要因素. 目前, 已有大

量的文献对时滞切换系统进行研究, 并获得了诸多有

意义的进展

[3-5]

中立型系统作为一类特殊的时滞系统, 其系统的

状态和状态的导数均含有时滞, 该类系统对于时滞的

影响更为敏感. 若切换系统中每个子系统均为中立型

系统, 则称为切换中立型系统. 由于状态的导数中含

有时滞, 对这种系统的研究相对于仅含有状态时滞的

系统而言更加复杂. 目前, 人们在系统的鲁棒稳定性

与鲁棒控制方面已经取得了一定的成果

[6-14]

滑模控制作为消除不确定性影响的有效控制策

略, 具有响应速度快、鲁棒性能好等优点, 已被成功应

用于许多实际工业系统中, 例如机器人系统、电力系

统、水下推进器、航天器等. 近年来, 切换系统的滑模

控制理论引起了人们的研究兴趣

[15-23]

. 文献 [15] 提出

了一种采用带有调整参数递归式滑模函数的离散滑

模控制方案, 研究了一类不确定离散切换系统的滑模

控制问题; 文献 [16] 针对一类带有多时滞的不确定离

散马尔科夫跳变系统, 给出了系统在准滑模面上随机

稳定的充分条件, 进而获得了该系统鲁棒滑模控制的

结果.

对于连续系统的情形, 文献 [17-18] 通过设计系

收稿日期: 2014-12-17；修回日期: 2015-04-29.

基金项目: 国家自然科学基金项目(61374079)；河南省基础与前沿技术研究项目(132300410011).

作者简介: 肖会敏 (1963−), 男, 教授, 博士生导师, 从事复杂系统建模与分析、混杂系统等研究；刘振 (1987−), 男, 博

士生, 从事混杂系统、滑模变结构控制等研究.

522

控制与决策

第 31 卷

统的单一滑模面, 研究了变时滞不确定切换系统的滑

模控制问题; 文献 [19] 结合 𝐻 无穷理论, 进一步讨论

了带有时滞的不确定切换系统的 𝐻 无穷滑模变结构

控制; 文献 [20] 通过对各个子系统分别设计滑模面,

给出了不确定时滞切换系统的鲁棒滑模控制方案, 并

在此基础上对系统的无源性进行了分析. 针对一类带

有马尔可夫跳变的不确定随机系统, 文献 [21] 研究了

其滑模控制问题, 同时讨论了基于观测器的滑模降阶

控制. 此外, 对于广义切换系统, 文献 [22-23] 设计了

积分型多滑模面, 研究了该类系统的鲁棒滑模控制问

题. 然而, 目前有关切换中立型系统的滑模控制的研

究成果尚不多见.

综上所述, 对于一类同时含有非匹配不确定性和

非线性扰动的切换中立型系统, 本文探讨了该类系统

鲁棒指数渐近稳定的滑模控制方案. 首先, 设计一种

积分型滑模面, 利用平均驻留时间方法和线性矩阵不

等式技术, 得到滑模动力学系统在任意切换规则下鲁

棒指数渐近稳定的时滞相关性判据; 然后, 设计滑模

变结构控制器, 使得系统的状态能于有限时刻到达预

先设计的滑模面上, 并产生滑动模态; 最后, 通过数值

仿真结果表明了所提出方法的有效性和可行性.

1 问问问题题题描描描述述述

考察下面含有变时滞与非匹配不确定性的切换

中立型系统:

˙𝑥(𝑡) − 𝐷

𝜎 (𝑡)

˙𝑥(𝑡 − 𝜏

) =

[𝐴

𝜎 (𝑡)

+ Δ𝐴

𝜎( 𝑡)

(𝑡)]𝑥(𝑡)+

[𝐴

𝑑𝜎 (𝑡)

+ Δ𝐴

𝑑𝜎 (𝑡)

(𝑡)]𝑥(𝑡 − 𝜏

(𝑡))+

𝐵

𝜎 (𝑡)

[𝑢(𝑡) + 𝑓

𝜎 (𝑡)

(𝑡, 𝑥)];

𝑥(𝑠) = 𝜑(𝑠), ˙𝑥(𝑠) = 𝜓(𝑠), 𝑠 ∈ [−𝜏, 0]. (1)

其中: 𝑥(𝑡) ∈ ℜ

𝑛

为系统的状态向量; 𝑢(𝑡) ∈ ℜ

𝑚

为

系统的控制输入; 切换信号 𝜎(𝑡) : [0, +∞] → Π =

{1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑁} 为分段右连续常值函数, 𝜎(𝑡) = 𝑖 表示

第 𝑖 个子系统运行; 𝜑(𝑠) 为系统初始条件函数. 系统

的离散时滞 𝜏

, 𝜏

(𝑡) 满足: 0 < 𝜏

, 0 < 𝜏

(𝑡) ⩽ 𝜏

˙𝜏

(𝑡) ⩽ 𝜇 < 1; 𝜏 = max{𝜏

, 𝜏

}, 且𝜏

, 𝜏

, 𝜇 均已知. 系

统矩阵 𝐴

𝑖

, 𝐴

𝑑𝑖

, 𝐷

𝑖

和 𝐵

𝑖

均为适当维数的已知实矩阵

且 𝐵

𝑖

为列满秩. Δ𝐴

𝑖

(𝑡), Δ𝐴

𝑑𝑖

(𝑡) 为系统的不确定参

数, 并满足以下条件:

[Δ𝐴

𝑖

(𝑡) Δ𝐴

𝑑𝑖

(𝑡)] = 𝑀

𝑖

𝐹

𝑖

(𝑡)[𝑁

𝑖

𝑁

𝑑𝑖

这里: 𝑀

𝑖

, 𝑁

𝑖

和 𝑁

𝑑𝑖

均为已知实矩阵; 𝐹

𝑖

(𝑡) 为时间

𝑡 的不确定实函数且满足 𝐹

𝑖

(𝑡)𝐹

𝑖

(𝑡) ⩽ 𝐼. 𝑓

𝑖

(𝑡, 𝑥) 为

系统的非线性项, 且存在函数 𝛼

𝑖

(𝑡) 满足 ∥𝑓

𝑖

(𝑡, 𝑥)∥ ⩽

𝛼

𝑖

(𝑡).

定定定义义义 1 给定常数

𝛽 > 0, 称系统 (1) 在切换信

号 𝜎(𝑡) 下是指数渐近稳定的, 若存在常数 𝛿 ⩾ 1 满足

以下条件:

∥𝑥(𝑡)∥ ⩽ 𝛿e

−

𝛽(𝑡−𝑡

)

∥𝜑∥

𝜏

, ∀𝑡 ⩾ 𝑡

其中 ∥𝜑∥

𝜏

= sup

−𝜏⩽𝑠⩽0

{∥𝜑(𝑡

+ 𝑠)∥, ∥ ˙𝜑(𝑡

+ 𝑠)∥}.

定定定义义义 2

[24]

对于任意时刻 𝑇

> 𝑇

⩾ 0, 用

𝑁

𝜎

(𝑇

, 𝑇

) 表示在时间段 (𝑇

, 𝑇

) 上的切换次数. 若

存在 𝑇

𝑎

> 0, 𝑁

⩾ 0, 使得不等式

𝑁

𝜎

(𝑇

, 𝑇

) ⩽ 𝑁

+ (𝑇

− 𝑇

)/𝑇

𝑎

成立, 则称 𝑇

𝑎

为平均驻留时间, 𝑁

为抖振界. 为了研

究方便, 本文取 𝑁

= 0.

引引引理理理 1

[25]

对于任意的正定矩阵 𝑌 和适当维数

的可微向量函数 𝑥(𝑡), 有以下不等式成立:

[

𝑡

𝑡−𝜏(𝑡)

˙𝑥(𝑠)d𝑠

]

𝑌

[

𝑡

𝑡−𝜏(𝑡)

˙𝑥(𝑠)d𝑠

]

⩽

𝜏

𝑡

𝑡−𝜏(𝑡)

˙𝑥

(𝑠)𝑌 ˙𝑥(𝑠)d𝑠.

引引引理理理 2

[26]

设 𝑍, 𝑆, 𝑄 为具有适当维数的矩阵,

且 𝑍 为对称阵, 则对于任意满足 Γ

(𝑡)Γ (𝑡) ⩽ 𝐼 的

Γ (𝑡), 有 𝑍 + 𝑆

Γ (𝑡)𝑄 + 𝑄

Γ (𝑡)

𝑆 < 0, 当且仅当存

在一个常数 𝜆 > 0, 使下面的不等式成立:

𝑍 + 𝜆

−1

𝑆

𝑆 + 𝜆𝑄

𝑄 < 0.

2 主主主要要要结结结果果果

2.1 积积积分分分滑滑滑模模模面面面的的的设设设计计计

设计如下积分型滑模面泛函:

𝑠(𝑡) =

𝐺

𝑖

[𝑥(𝑡) − 𝐷

𝑖

𝑥(𝑡 − 𝜏

)] −

𝑡

𝐺

𝑖

𝐴

𝑑𝑖

𝑥(𝑠 − 𝜏

(𝑠))d𝑠−

𝑡

𝐺

𝑖

(𝐴

𝑖

+ 𝐵

𝑖

𝐾

𝑖

)𝑥(𝑠)d𝑠. (2)

其中: 𝐺

𝑖

, 𝐾

𝑖

∈ ℜ

𝑚×𝑛

均为待定矩阵; 𝐴

𝑖

, 𝐴

𝑑𝑖

和 𝐷

𝑖

为

系统定义的矩阵; 特别地, 𝐺

𝑖

满足 𝐺

𝑖

𝐵

𝑖

非奇异.

根据滑模控制理论的等效控制原理, 当系统的状

态处于滑动模态时, 有

𝑠(𝑡) = 0, ˙𝑠(𝑡) = 0.

由此可得等效控制为

𝑢

= [𝐾

𝑖

− (𝐺

𝑖

𝐵

𝑖

)

−1

𝐺

𝑖

Δ𝐴

𝑖

(𝑡)]𝑥(𝑡) − 𝑓

𝑖

(𝑡, 𝑥)−

(𝐺

𝑖

𝐵

𝑖

)

−1

𝐺

𝑖

Δ𝐴

𝑑𝑖

(𝑡)𝑥(𝑡 − 𝜏

(𝑡)). (3)

将式 (3) 代入 (1), 可得滑模运动方程为

˙𝑥(𝑡) − 𝐷

𝑖

˙𝑥(𝑡 − 𝜏

) =

[𝐴

𝑖

+ 𝐵

𝑖

𝐾

𝑖

+ 𝐺

𝐵𝑖

Δ𝐴

𝑖

(𝑡)]𝑥(𝑡)+

[𝐴

𝑑𝑖

+ 𝐺

𝐵𝑖

Δ𝐴

𝑑𝑖

(𝑡)]𝑥(𝑡 − 𝜏

(𝑡)), (4)

其中 𝐺

𝐵𝑖

= 𝐼 − 𝐵

𝑖

(𝐺

𝑖

𝐵

𝑖

)

−1

𝐺

𝑖

注注注 1 根据所设计的积分型滑模面可得形式较

为简便的滑模运动方程, 这不仅有利于讨论滑模动力

学系统 (4) 的性态特征和参数设计问题, 也便于滑模

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