二分法，也称为折半法，是一种数值计算方法，常用于寻找单变量方程的根，即函数f(x)在某区间内满足f(a)*f(b) < 0的解x，其中a和b是区间的两个端点。在这个上下文中，"bisection.m"是一个MATLAB编写的脚本，专门用于实现二分法来求解函数的根。MATLAB是一种广泛应用于科学计算、图像处理、数据分析等领域的高级编程语言和环境。
我们需要理解二分法的基本原理。假设我们有一个连续的单变量函数f(x)，我们从一个已知包含零点的闭区间[a, b]开始，因为根据介值定理，这样的函数在区间内至少存在一个根。二分法的操作步骤如下：
1. 计算中间点c = (a + b) / 2。
2. 评估函数在中间点的值f(c)。
3. 如果f(c)等于零，那么c就是我们要找的根，算法结束。
4. 如果f(c)不等于零，我们根据f(c)与f(a)和f(b)的符号关系来缩小搜索区间：
- 如果f(c) * f(a) < 0，说明根在(a, c)之间，我们更新b = c。
- 如果f(c) * f(b) < 0，说明根在(c, b)之间，我们更新a = c。
5. 重复步骤1-4，直到达到预设的精度条件（如函数值的绝对差小于某个阈值）或者迭代次数达到上限。
在MATLAB中实现这个算法，`bisection.m`可能包含以下关键部分：
```matlab
function root = bisection(f, a, b, tol, maxIter)
% f: 输入的函数
% a, b: 区间[a, b]
% tol: 允许的误差阈值
% maxIter: 最大迭代次数
if f(a) * f(b) >= 0
error('Initial interval does not straddle a root.');
end
root = a;
iter = 0;
while (b - a > tol) && (iter < maxIter)
c = (a + b) / 2;
if f(c) == 0
break;
elseif f(c) * f(a) < 0
b = c;
else
a = c;
end
root = c;
iter = iter + 1;
end
if iter == maxIter
warning(['Failed to converge after ', num2str(maxIter), ' iterations.']);
end
end
```
这个脚本定义了一个名为`bisection`的函数，它接受一个函数句柄`f`，以及初始区间`a`和`b`，误差阈值`tol`，和最大迭代次数`maxIter`作为参数。函数首先检查初始区间是否包含零点，然后进行迭代，每次都将区间折半并更新根的估计值。如果达到最大迭代次数仍然没有收敛，会发出警告信息。
用户可以调用这个函数来求解特定的方程，例如：
```matlab
f = @(x) x^3 - 2*x - 1; % 定义一个函数
root = bisection(f, -2, 3, 1e-6, 100); % 使用二分法求解
```
通过这个例子，我们可以看出`bisection.m`是如何结合MATLAB的高效计算能力和二分法的数值稳定性，为用户提供一种便捷的求解单变量函数根的方法。
43535-bisection-m.zip （1个子文件） 
bisection.zip 2KB
