二阶非线性脉冲微分方程的振动性 (2001年)

二阶非线性脉冲微分方程是数学中研究非线性动力系统的一个重要分支，其研究内容涵盖了对这类方程解的性质的深入探讨。振动性作为这类方程解的一个重要属性，是指方程解的振动行为，即解在正负之间不断地变化，这种现象在物理、工程、生物和经济学等领域有着广泛的应用背景。 本文所讨论的二阶非线性脉冲微分方程，其一般形式可以表示为x"+f(t,x)=0，其中t代表时间变量，x代表系统的状态变量，f(t,x)是一个关于时间t和状态x的函数，表示系统的动态特征。脉冲项x(tt)=机(X(tk))和x'(tn=gk(X'(tk))则反映了在特定时间点上的非连续变化，这些点称为脉冲点。 在研究这类方程时，学者们通常关注的是其解是否振动，即解是否在某个有限区间内无界地穿越某一值（通常是零值），这通常与物理系统中的稳定性和临界性密切相关。通过改进已有的振动条件，作者提出了新的充分判据，这意味着可以更准确地判定方程解的振动性。 在文中提到的充分判据中，利用了平方技巧和脉冲时刻控制方法。平方技巧指的是通过构造某些函数的平方来推导出原方程的性质，而脉冲时刻控制方法则是指在特定的脉冲点对解的行为进行限制，以保证在这些点上解的连续性和稳定性。通过这些技巧，作者改进了已有的振动条件，允许研究者在有限区间内判定方程的振动性，而不是在无穷区间内。 定义1.1详细描述了方程的解的性质，包括在脉冲时刻的连续性和右极限的存在性，以及对解的非振动性的定义。此外，作者还假设了函数f(t,x)在无穷区间上满足特定条件，这些条件保证了函数的连续性和在特定条件下的单调性。 在文章的第二节中，作者针对不同的函数f(t,x)进行了讨论，并给出了相应的结论。这些结论和例子的给出，加深了对这类二阶非线性脉冲微分方程振动性的理解。 文中引用的文[5]，很可能是之前的工作，作者通过对该文的结果进行推广，进一步丰富了二阶非线性脉冲微分方程振动性的理论体系。基金项目的提及则说明了研究的资助背景，即广东省自然科学基金的资助，这体现了研究的学术价值和实际应用的潜力。 作者简介部分提供了作者的基本信息，包括他的学术背景和研究领域，显示了他在这个领域的专业知识和研究经验。宋常修作为华南师范大学应用数学专业的研究人员，从事这个领域的研究，具有一定的学术地位。 本文在二阶非线性脉冲微分方程振动性研究领域提供了一种新的研究视角和方法，通过改进振动条件，推动了理论的发展，并对相关领域应用的研究有积极的推动作用。