从给定的文件信息中，我们可以提取以下知识点：
1. 微分方法在不等式证明中的应用：
文档提到，不等式的证明方法不仅限于初等方法，还可以通过微分方法来进行。微分方法通常涉及到函数的导数和泰勒展开等概念。
2. 泰勒(Taylor)公式在不等式证明中的应用：
文档中介绍了如何利用泰勒公式来证明不等式。具体而言，是通过构造特定函数，并将其在某点展开泰勒公式，然后通过函数的二阶导数大于零的性质（即函数的凸性）来推导出不等式。
3. 凸函数与凸不等式：
文档提到了凸函数的性质，即对于凸函数，其二阶导数必定非负。这被用来证明两个绝对不等式。凸性是微分几何中的一个基本概念，凸函数在最优化问题中具有重要的地位。
4. 詹生(Jensen)不等式：
文档中提到了詹生不等式，这是概率论和数学分析中非常重要的工具，它描述了凸函数在随机变量上的期望值与期望值的函数值之间的关系。文档中展示了如何用詹生不等式证明两个不等式。
5. 拉格朗日(Lagrange)乘数法：
文档还提到了拉格朗日乘数法，这是一个在求解有约束条件的最优化问题时常用的数学方法。通过引入拉格朗日乘数将有约束的最优化问题转化为无约束问题，进而可以应用微分的方法来求解。文档中描述了如何利用拉格朗日乘数法来简化证明过程。
6. 对数函数在不等式证明中的应用：
在文档中，对数函数被用来处理乘积形式的不等式。通过对数函数的性质，可以将乘积转换为和，从而简化问题。
7. 算术几何平均不等式和Hölder不等式的证明：
文档中涉及的两个重要不等式，分别是算术平均数和几何平均数之间的关系，以及推广的Hölder不等式。证明这些不等式可以帮助加深对不等式性质的理解，它们在数学分析和最优化问题中有着广泛的应用。
8. 数学分析和最优化理论：
文档中的内容涉及了数学分析领域内的最优化理论，这是研究函数极值问题和求解最优解的学科。在实际问题中，如经济学、工程学、物理学等领域，这些理论和方法都有广泛的应用。
通过上述知识点，可以看出文档主要探讨了微分方法在不等式证明中的应用，以及具体的数学工具和概念，比如泰勒公式、凸函数性质、詹生不等式、拉格朗日乘数法等。这些知识不仅适用于纯数学研究，也为应用数学问题的解决提供了有效的数学工具。
