遗传挠理论是代数学中研究环论和模论的一个重要分支，它涉及到环的性质及其上的模结构。在本研究中，张力宏和杜奕秋深入探讨了遗传挠理论框架下的余投射模与余内射模的概念，并通过它们揭示了余半单环和余左遗传环的结构，同时证明了这两类模的对偶性。
余投射模和余内射模的概念是余投射性与余内射性的拓展。在遗传挠理论中，特定类型的模被定义为τ-余投射模和τ-余内射模。这些模与遗传挠理论中的内射模和投射模具有密切的联系，但并不完全相同。遗传挠理论中的内射模与投射模是对偶的模类，但遗传挠理论的内射模与投射模并不是对偶的。τ-余投射模和τ-余内射模的引入，是为了研究遗传挠理论下的特定模结构。
τ-余投射模指的是在内射包中具有特定性质的模，而τ-余内射模则是在遗传挠理论的条件下内射模的概念。文中定义了τ-余投射模和τ-余内射模，并证明了它们的一些等价命题。例如，一个左R-模M，如果可以嵌入到其内射包中并满足特定的交换图条件，则称M为τ-余投射模或τ-余内射模。
τ-余内射模和τ-余投射模的研究揭示了它们之间存在的对偶性，这一点对于深入理解这些模的性质非常重要。通过对这两类模的研究，可以对遗传挠理论有更深刻的认识。
此外，文章中还探讨了余半单环和余左遗传环的概念。余半单环是指在遗传挠理论框架下，每个余单模的子模都是余单的环。余左遗传环则是指在遗传挠理论中，每个模的左子模都是遗传挠的环。文章给出了这些环的定义，并研究了它们的结构。
值得注意的是，文献中提到的τ-挠模和τ-挠自由模也是在遗传挠理论中的重要概念。τ-挠模指的是与τ-挠子模同构的模，而τ-挠自由模则是在遗传挠理论条件下挠自由的模。文中通过τ-余投射模和τ-余内射模的概念给出了τ-挠自由模的刻画，并且证明了在特定条件下，投射模与τ-余投射模是一致的，内射模与τ-余内射模是一致的。
文章的所有结论都是在假设环R是有单位元的结合环，且模指的是酉模的前提下得出的。文献的引用为读者提供了遗传挠理论和相关概念的更全面了解的入口，例如文献［１］提供了挠理论的具体定义，文献［３-４］则说明了内射模与投射模作为对偶的模类。
通过这项研究，作者不仅证明了遗传挠理论中余投射模和余内射模的等价条件，还揭示了它们的对偶性，为余半单环和余左遗传环的研究提供了新的视角和工具。这项工作对于推动代数学特别是环论和模论的发展具有重要意义。
