关于Sch空间的若千结果 (1984年)

在这篇文章中，徐洪坤以浙江大学的名义，对Schur空间进行了深入的研究，并取得了一些重要的结果。Schur空间是一种特殊类型的Banach空间，其中弱收敛与强收敛的序列是等价的。在这篇论文中，徐洪坤主要探讨了Schur空间的性质，以及它在Banach空间中的地位和作用。 徐洪坤定义了Schur空间的概念，指出如果一个Banach空间中的序列的弱收敛与强收敛等价，那么这个空间就可以被称为Schur空间。同时，他举出了一个典型例子——空间t1，这是众所周知的Schur空间。紧接着，他提出了几个基本的命题来阐述Schur空间的性质。其中，命题1指出Schur空间是w序列完备的，即在该空间内，每个序列都有弱极限。命题2则表明Schur性质在线性同胚下是不变的，这意味着如果一个Banach空间具有Schur性质，那么经过线性同胚映射后得到的新空间同样具有这一性质。命题3强调有限个Schur空间的乘积空间仍然是Schur空间。 徐洪坤进一步证明了关于Schur空间的几个定理。定理1说明了如果一个Banach空间是Schur空间，那么它的每个闭线性子空间和每个可分闭线性子空间也都是Schur空间。这一定理的证明基于了泛函延拓定理和商空间范数的定义。定理2则揭示了一个关于Banach空间的有趣性质：如果一个Banach空间的闭线性子空间和相应的商空间都具有Schur性质，那么原空间也是Schur空间。 在讨论了Schur空间的结构性质之后，徐洪坤还探讨了Schur空间的不动点性质。他定义了具有不动点性质的Banach空间，即对于空间中的每一非空弱紧凸集和每一个非扩张映射，都存在不动点。定理4表明，如果一个Banach空间是Schur空间，那么它就具有不动点性质。这一性质的证明涉及到非扩张映射和Banach压缩映射原理的应用。 文章中还提到了Schur空间的其他几个重要性质。例如，定理3表明了Schur空间是有限维的，自反的，可分的和Schur空间这四个条件是等价的。这一结果揭示了Schur空间的几个重要的等价性质，对于理解和分类这类空间提供了重要线索。此外，徐洪坤还简要地讨论了Schur空间的其他性质，例如闭单位球的性质，以及它在一般指标集下的表现。 徐洪坤在这篇1984年的论文中，对Schur空间的理论框架进行了全面的深化和发展。他不仅严格地证明了Schur空间的一系列基本性质，还将其推广到了不动点理论中，为后续研究者提供了宝贵的理论基础。这些理论成果不仅丰富了数学理论，也为相关领域的研究提供了新的研究思路和方法。