正则化最小二乘法（Regularized Least Squares, RLS），又称Tikhonov正则化，是一种在处理线性回归问题时，为了解决过拟合或病态系统而引入的一种方法。在数学中，希尔伯特矩阵（Hilbert Matrix）是一种特殊的矩阵，其元素由1/(i+j-1)构成，由于其特征值分布广泛，导致在解决相关问题时容易出现数值不稳定性，也就是我们常说的“病态”系统。
希尔伯特矩阵的逆矩阵往往包含大量的大数与小数的比值，这使得在计算过程中容易产生数值误差。在实际应用中，如使用普通的最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）来求解涉及希尔伯特矩阵的线性方程组，可能会导致结果极其不稳定，甚至不可用。
正则化最小二乘法通过在原目标函数中添加一个正则化项，即对模型参数的L2范数（也称为欧几里得范数）进行惩罚，来改善这一情况。正则化项可以表示为λ*||w||^2，其中w是模型参数向量，λ是正则化参数。这个额外的项使得模型在拟合数据的同时，还限制了模型参数的大小，从而避免了过拟合，并增强了模型的泛化能力。
在MATLAB中，我们可以利用奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）来实现正则化最小二乘法。SVD将矩阵A分解为A=USV'，其中U和V是正交矩阵，S是对角矩阵，包含了A的奇异值。对于线性方程Ax=b，我们可以通过以下公式得到正则化解：
w = (U'S^(-1+α)U)^(-1)U'S^(-1+α)b
其中，α是正则化参数，通常与λ的关系为α=λ/σ²，σ²是S对角线上的元素。通过调整α的值，我们可以控制正则化的程度，从而找到最优的模型。
在提供的压缩包文件"tikhonov.zip"中，可能包含MATLAB代码示例，展示了如何使用SVD计算正则化最小二乘解，并与普通最小二乘法的结果进行对比。通过这些代码，你可以深入理解正则化过程以及它如何改善希尔伯特矩阵问题的稳定性。
总结来说，正则化最小二乘法是一种有效的工具，尤其适用于处理病态系统，如涉及希尔伯特矩阵的问题。MATLAB中的SVD函数使得实现这一方法变得便捷，通过对不同正则化参数的选择，可以找到既能良好拟合数据又能保持稳定性的模型。通过分析和比较正则化最小二乘法和普通最小二乘法的解，我们可以更深入地理解这两种方法的优劣，从而在实际问题中做出合适的选择。
