在这篇文章中，作者张永战和张庆祥探讨了多目标变分问题的混合对偶性，并将研究拓展到(C,α,ρ,d)-V-凸性条件下。这一研究是对现有数学规划和变分问题理论的进一步深入，旨在建立更一般化的理论模型，并在特定条件约束下探讨有效解的对偶理论。
文章回顾了变分问题与数学规划的关系，提到了1964年Hanson的开创性研究及其后续学者的研究工作。特别地，文献[3]在(F,ρ)凸条件下建立了变分控制问题的对偶理论，而文献[4]在(F,α,ρ,的-V-凸性条件下研究了多目标变分问题的混合对偶性。张永战与张庆祥在这篇2014年的论文中，将D.H.Yuan提出的(C,α,ρ,d)-凸函数概念推广到了(C,α,ρ,d)-V-凸函数，并研究了该条件下的多目标变分问题的混合对偶性质。
文章给出了一类多目标变分问题的数学模型，该模型涉及到目标函数、约束条件、可行域等多个数学概念。模型中的目标函数和约束条件都涉及到了连续可微函数，其中包括目标函数的最小化以及状态变量、控制变量和余变量的约束。可行域X定义为满足给定初始条件、终端条件以及不等式和等式约束的所有变量的集合。
研究中的关键概念包括Pareto有效解、广义凸函数等。Pareto有效解是指在可行域内不存在其他解使得所有目标函数值都比当前解更优的解。广义凸函数则是在某一点或某一区域内的函数满足某种凸性质，如在定义2中提到的关于最后一个变量是凸的函数。
在文章中，作者定义了(C,α,ρ,d)-V-凸函数，并在此基础上构建了多目标变分问题的混合对偶理论。混合对偶性包括了Wolfe型对偶和Mond-Weir型对偶，这两种对偶是更一般混合对偶性的特殊情况。作者进一步推广了文献[5]中的结论，并在此基础上得到了弱对偶性和强对偶性的定理，这些理论结果对于理解和求解多目标变分问题具有重要意义。
文章的工作不仅丰富了数学规划和变分问题的理论体系，而且为解决实际问题中的多目标优化提供了新的思路和方法。在研究方法上，作者通过提出新的凸性条件，推广和深化了对偶理论，使得原本局限于特定条件下的对偶理论变得更加通用和灵活。
这篇论文通过构建(C,α,ρ,d)-V-凸多目标变分问题的混合对偶性，不仅建立了理论上的深刻联系，还将对偶理论应用于多目标变分问题，为优化问题的求解提供了更有效的工具和框架。
