直接用待定系数法详细地讨论了两类常见的二阶非齐次欧拉方程x2y″+axy′+by=XaPm(1nx)，x2y″+axy′+by=xa[Ps(1nx)cos(β1nx)+Pn(1nx)sin(β1nx)]，特解的求法，并对求n阶非齐次欧拉方程的特解作了必要的说明．
非齐次欧拉方程是线性微分方程的一种特殊类型，其一般形式为x^n*y^(n) + P1*x^(n-1)*y^(n-1) + ... + Pn-1*x*y' + Pn*y = f(x)，其中n为正整数，P1, P2, ..., Pn是关于x的函数，f(x)是非齐次项。在2006年的一篇论文中，作者胡劲松深入探讨了如何利用待定系数法来求解两类常见的二阶非齐次欧拉方程。
第一类方程是x^2*y'' + ax*y' + by = x^a*P_m(lnx)，其中P_m(lnx)是自然对数lnx的m次多项式，a和b是常数。第二类方程为x^2*y'' + ax*y' + by = x^a*[P_s(lnx)cos(β*lnx) + P_n(lnx)sin(β*lnx)]，这里P_s(lnx)和P_n(lnx)分别代表lnx的s次和n次多项式，β也是常数。待定系数法是一种常用的微分方程求解策略，通过假设解的形式，然后根据方程的特性来确定这些形式中的未知系数。
对于这类方程，通常需要找到对应的齐次欧拉方程的特征方程。对于这两类非齐次欧拉方程，特征方程是r^2 + (a-1)*r + b = 0。根据特征方程的根，可以分析特解的结构。如果α不是特征方程的根，那么特解可能包含lnx的多项式，其次数与非齐次项相同。如果α是特征方程的单根，那么特解会包含x^α*lnx的项。若α是特征方程的重根，则特解可能包含x^α*(lnx)^2的项。
在证明过程中，利用了幕函数与lnx的多项式乘积的导数性质，即此类乘积的导数仍然是幕函数与lnx的多项式乘积，但幕函数的次数降低一次。这个性质对于构建特解的形式至关重要。
例如，对于第一类方程，作者证明了存在一个lnx的m次多项式Q_m(lnx)，使得y=x^α*Q_m(lnx)是方程的特解。通过计算一阶和二阶导数，将它们代入原方程，可以得到一个关于Q_m(lnx)的线性微分方程，从而求解出Q_m(lnx)的具体形式。
这篇论文提供了直接利用待定系数法求解非齐次欧拉方程特解的详细步骤，特别关注了两类特殊形式的方程，同时对n阶非齐次欧拉方程的特解求法进行了讨论。这种方法直接、有效，对于理解和解决这类问题具有重要的指导意义。
