在数学领域，尤其是泛函分析中，Banach空间是研究线性空间的一个重要分支。一个Banach空间是指一个完备的赋范线性空间。在这篇文章中，作者林贵华探讨了在序列空间l∞(Xn)中的弱紧性问题，这是一个在数学界尚未充分解决的问题。
我们需要理解什么是l∞(Xn)。给定一列Banach空间{Xn}，其中1≤p<∞，可以定义空间lp(Xn)为所有满足条件Πn xn∈Xn且其p-范数úxú=(∑∞n=1úxnúp)1/p<∞的元素x=(xn)的集合。与之对应，l∞(Xn)则表示所有满足条件Πn xn∈Xn且其无穷范数úxú=supnúxnú<∞的元素x=(xn)的集合。在本文中，还提到一个重要的等价性质：l∞(Xn)同构于l1(Xn)，这表明这两个空间在线性结构上是相同的。
文章的核心是研究l∞(Xn)中的有界线性算子的弱紧性。在线性算子理论中，一个算子被称为弱紧的，是指它将弱收敛序列映射到弱收敛序列。弱紧算子具有良好的性质，比如其共轭算子也是弱紧的。这一点在引理1中得到了证实，其中提出了一个充要条件，即一个有界线性算子T是弱紧的当且仅当它的共轭算子T*也是弱紧的。
定理1给出了一个有界线性算子T从Y到l∞(Xn)为弱紧算子的充要条件。该条件涉及到了Y的弱紧子集K，并且要求对于每一个n，PnT的共轭算子作用于BXn的闭单位球上时，其值集必须被K所控制。这是通过构造一个从l1(Xn)到Y的弱紧算子S来实现的，并利用了Krein定理来证明S的弱紧性。
定理2则是定理1的一个推广，它提供了T作为弱紧算子的一个充分条件。如果存在一个弱紧集K使得对于每个n，PnT作用在Y的闭单位球上得到的值集被K所包含，那么可以推断出T是一个弱紧算子。
文章还讨论了l∞(Xn)中的弱收敛性。弱收敛是指序列在弱拓扑下的收敛。这里引入了两个引理来讨论弱紧算子和弱收敛序列之间的关系。引理2特别强调了算子T在l1空间到Y空间的映射下，弱收敛序列的像仍然是弱收敛于0的序列。而算子T*的作用及其像空间与c0序列空间的关系被用来说明弱紧算子的性质。
文章通过一系列定义、定理和引理，探讨了弱紧性在l∞(Xn)空间中的不同刻画。这种探讨不仅加深了对弱紧算子和弱收敛性质的理解，也对后续的研究提供了理论基础。
林贵华的文章通过引入关键的数学概念和性质，详细地阐述了在特定空间l∞(Xn)中弱紧算子的研究方法，并对弱收敛性给出了严密的论证。这些工作不仅为数学理论的发展提供了新的视角，也为相关的应用问题奠定了基础。
