基于细胞稀疏存贮方案的有限元刚度矩阵组装

在现代有限元分析中，直接解法和迭代解法都需要对刚度矩阵进行组装。刚度矩阵是有限元分析中的一个核心概念，它是一个能够反映结构刚度分布特性的矩阵。随着问题规模的增大，刚度矩阵中非零元素的数量也在不断增加，导致计算和存储的困难。为此，稀疏存贮方案应运而生，它能够有效压缩存储空间，提高计算效率。 在稀疏解法中，符号矩阵（symbolic matrix）扮演着关键角色。符号矩阵是一个Bool值矩阵，其中刚度矩阵的非零元在符号矩阵中对应的位置上值为1，其余位置为0。符号矩阵也被称为邻接图，因为它的图论表示在讨论矩阵运算时非常有用。符号矩阵的大小与总体刚度矩阵的大小成正比，因此在大规模问题中，符号矩阵可能超出内存限制。 为了解决这一问题，提出了符号矩阵的压缩存贮方法，其中最著名的是文献[6]的方法。本文提出的细胞稀疏存贮方案是一种新的符号矩阵压缩方法，其压缩比高于传统方法。细胞稀疏存贮方案通过定义超方程和与之对应的子矩阵（即“细胞”），将刚度矩阵中的行（或列）根据具有相同非零元位置进行分组。 在细胞稀疏存贮方案下，总体刚度矩阵可以看作是超行向量的顺序组合。这种存贮方案大大减少了符号矩阵的大小，从而在有限的内存条件下能够组装和处理更大的有限元方程组。该方案的具体实现包括两个方面：一是直接利用超方程和细胞符号矩阵概念组装细胞符号矩阵，其大小比传统符号矩阵小很多；二是提出了两种不同的组装方案，以适应不同的内存数据安排。 通过改进，本文提出的方法能够在仅有28M内存的情况下，在内存中快速地组装100万阶3维8节点实体有限元方程组的符号矩阵，效率显著提高。 此外，文章还讨论了稀疏矩阵的存贮方案。在有限元分析中，稀疏矩阵是常见且需要特殊处理的数据结构。一种常用的存贮方案是紧凑行向量的顺序组合表示法，它使用三个数组（IA、JA、PA）来表示矩阵的上三角部分。这种方法需要的内存大小为（neq+nzr）*4+nzr*8字节，其中neq是线性方程组的阶数，nzr是非零元素的数量。 为了更有效地进行矩阵运算，细胞稀疏存贮方案在工程有限元分析中被提出。它将具有相同非零元位置的行（列）的方程定义为超方程，将超方程划分相应的子矩阵定义为细胞。通过这种存贮方案，可以将总体刚度矩阵视作超行向量的顺序组合，从而进一步压缩内存需求，并且提升计算效率。 总结来说，本文所提出的基于细胞稀疏存贮方案的有限元刚度矩阵组装方法，不仅能够有效应对大尺度有限元模型的刚度矩阵组装问题，而且在内存限制较大的情况下，仍然能快速完成组装，这对于高性能计算领域具有重要意义。