合作博弈理论是博弈论中一个重要分支，其研究的核心问题之一是如何在参与者之间分配合作所得到的收益。在合作博弈中，凸博弈（Convex Games）是一种具有特殊性质的游戏类型，它在理论和应用层面都非常重要，特别是在讨论稳定集和核心（core）概念时。本文提出了一种关于凸博弈的新特征，即一个合作博弈如果是凸的，当且仅当它的所有边际博弈（Marginal Games）都是超可加的（Superadditive Games）。
在合作博弈中，转移效用（Transferable Utility）意味着参与者之间能够自由地分配和转移收益。在这样的博弈模型中，我们有一个特征函数v，它是一个定义在所有可能的玩家集合上的实值函数，用以衡量任何子集（联盟）的效用。对于任意联盟S，v(S)表示联盟S能够获取的总收益。超可加性是合作博弈中的一个重要性质，它要求对于任意两个不相交的联盟S和T，这两个联盟合并的总收益至少等于它们各自收益的和，即v(S∪T) ≥ v(S) + v(T)。这个性质保证了联盟之间的合作是有利的。
凸博弈是对超可加性的一种扩展，它不仅要求联盟的合并收益至少等于各自收益之和，而且还要求这种性质对于任意两个子集都成立。即对于任意两个子集S和T，不论它们是否相交，它们合并后的收益至少是各自收益之和。数学上，这可以表达为v(S∪T) ≥ v(S) + v(T)，这里S和T是玩家集合N的任意子集。所有凸博弈都是超可加的，但并非所有超可加博弈都是凸的，凸性是超可加性的一个更强的条件。
凸博弈之所以重要，是因为它们具有一些非常好的性质。例如，在凸博弈中，核心（core）是唯一的稳定集，核心的极点可以很容易地被描述出来，而且Shapley值位于核心的重心。核心是指联盟分配收益的一个集合，任何从核心中移除的收益分配都会使至少一个联盟有动机破坏该分配。Shapley值是合作博弈理论中一个重要的概念，是由Lloyd Shapley提出的，用于在博弈的参与者之间公平地分配收益。在凸博弈中，Shapley值的这个性质特别重要，因为它揭示了凸博弈的核心是如何围绕Shapley值构建的。
本文提出的关于凸博弈的新特征进一步强调了凸博弈的结构，即一个合作博弈是凸的，当且仅当它的所有边际博弈都是超可加的。这意味着，如果一个合作博弈的所有边际情况满足超可加性，那么整个博弈就是凸的。这一特征化说明，凸博弈的性质是可以通过其边际情况来理解的，这在理论上和计算上为理解凸博弈提供了新的视角。
在经济学和博弈论的文献中，对于凸博弈的特征化存在多种不同的解释和证明。除了本文提及的通过超可加性特征化凸博弈外，还有其他的特征化，如通过特征函数的超模性（supermodularity）来定义凸博弈，它与超可加性是等价的。这些特征化之间的等价性说明了凸博弈的内在结构和稳定性。凸博弈的这些特性使得它在经济学、政治学、以及运营管理等领域的决策制定和资源分配问题中都有着广泛的应用。
Shapley值的提出者Lloyd Shapley，以及其他博弈论的学者，如Ichiishi和Curieland Tijs等人，对凸博弈的理论研究有重要贡献。他们的工作不仅帮助我们理解了凸博弈的数学结构，也为合作博弈在实际应用中的进一步研究提供了理论基础。凸博弈的理论及其相关特征化对于构建和分析在利益冲突和合作环境下运作的社会经济系统的稳定性和效率性具有深远的意义。
