基于自适应网格的结构拓扑优化(2009年)资源-CSDN文库

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第

卷第

期

2009

年

月

大连理工大学学报

Journal of Dalian University of Technology

VoI. 49 ,

No.4

July

2 0 0 9

这监卧次

世学事

业力事

世程事

业工事

dfamv

我

文章编号:

1000-8608(2009)04-0469-07

基于自适应网格的结构拓扑优化

徐胜利，程耿东祷

(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁大连

116024

)

摘要:研究了基于自适应网格技术的结构拓扑优化.采用有限元离散设计域，单元节点密度

作为设计变量.优化迭代过程中，根据设计域密度场信息对结构网格进行自适应加密和稀疏，

使得材料分布边界处的网格加密，远离材料边界处的网格稀疏.同时，优化设计变量空间也随

着网格的变化而变化.给出了拓扑优化中网格自适应加密和稀疏的准则，以及网格变化时结

构密度场更新算法.算例结果表明提出的拓扑优化策略可以减少结构分析和优化求解的计算

量，在同等结构分析和优化求解计算量下能够得到更好的拓扑结果.

关键词:自适应网格;优化设计空间;拓扑优化

中图分类号:

039

文献标志码

。引

言

计算机辅助设计是现代工业产品设计的基

础，它可以缩短产品的开发周期，提高企业竞争

力.经过近

年的发展，拓扑优化技术已相对成

熟，并且在产品设计中起到越来越重要的作用.拓

扑优化研究如何求得结构最优拓扑使得在给定约

束下目标函数达到最优.比如给定结构刚度约束

下最小化结构重量设计.与尺寸优化和形状优化

相比，拓扑优化可以获得新的结构构形，从而能够

得到更优的结果.但是，大部分拓扑优化方法，包

括均匀化方法[1.2

、变密度法

、。和进化结构优化

法

、

将拓扑优化问题转化为材料在设计域的

分布，拓扑优化的优化设计变量空间比尺寸优化

和形状优化大很多.随着优化设计变量空间的增

大，分析和优化求解变得很困难.此外，得到的单

元材料分布往往有很大的中间密度区域，结构边

界不清晰，当将拓扑优化的结果引人计算机辅助

设计时，一个重要的工作是从模糊的边界信息中

提取清晰的边界曲线或曲面.在不清晰的边界区

提取边界带有很大的任意性，当网格很粗时，这样

的任意性特别严重.为了减少任意性，必须加密计

算网格.但是加密网格会增加计算规模和增大设计

变量空间，优化求解变得很困难.所以提取清晰边

界的同时控制计算规模成为一个需要研究的问题.

很多研究者针对如何降低优化设计变量空间

的维数，提高优化效率进行了研究.

Maute

等[7]将

设计模型和分析模型分开，提出了一种自适应的

方法.设计模型的网格为密网格，计算模型是结构

分析和优化的对象，密度场由设计模型映射到计

算模型.在计算模型分析和优化后，将优化得到的

密度场重新映射到设计模型，再进行下次迭代.计

算模型的形状通过提取设计模型密度场边界得

到，每次得到计算模型后，计算模型的网格相对上

一次要进行加密.

Lin

等

[8J

采用了两阶段法，首先

在稀网格上得到最优密度场，然后将网格加密，将

稀网格的密度场映射到密网格上作为初始密度场

继续优化

.Kim

等

[9J

提出了一种变染色体长度的

遗传算法

CVCL-GA)

进行结构拓扑优化.其核心

思想与

Lin

等问类似，稀网格所得到的密度场作

为密网格的初始密度场，网格可以进行多次整体

加密

.Kim

等问、

Jang

等[儿

12J

将设计域看做是可

变的，在每次结构优化结束后，对设计域边界进行

收稿日期

2008-09-05

;

修回日期:

2009-05-13.

基金项目

国家自然科学基金重大研究计划资助项目

(90816025

，

90816018);

国家创新研究团队计划资助项目(1

0421202)

;国家自

然科学基金青年基金资助项目(1

0802016).

作者简介:徐胜利(1

979-)

，男，博士生;程耿东.

941

少，男，教授，博士生导师，中国科学院院士

.E-mail:

chenggd@dlut.edu.cn.

470

大连理工大学学报

第

卷

处理，通过在设计域边界处增加或删除单元改变

设计域的形状.文献

[13J

采用了自适应网格加密

技术进行结构拓扑优化，但是其加密方式为有材

料区域网格整体加密.

Guest

口

采用部分单元节

点作为设计变量，设计变量在设计域内均匀分布，

在相同的设计变量数目下，其有限元网格比通常

将全部单元节点作为设计变量的有限元网格密，

能够得到更光滑的材料边界.本文提出了一个新

的基于自适应网格的结构拓扑优化方法.

优化设计空间更新方法

本文认为材料分布是由材料边界表征的，因

此，材料边界处需要较多的设计变量描述，以便能

够得到清楚、光滑的材料边界.而远离材料边界

处，由于设计变量的数值都为

或

，可以用较少

的设计变量描述.这种设计变量分布方式显著地

减少了设计变量空间的维数，同时能够得到光滑

的材料边界.本文采用单元节点密度作为设计变

量，将结构拓扑优化和自适应有限元法结合起

来，在优化过程中，首先将设计域用较稀疏的网格

划分并进行拓扑优化.优化迭代收敛后，根据密度

场信息对单元网格进行自适应的加密和稀疏，其

准则是对材料边界处的网格(其单元密度为中间

密度值)进行加密，对远离材料边界处的网格(其

单元密度接近于

或

进行稀疏.二维矩形网格

采用了基于四分叉树的网格加密方法，三维六面

体网格采用了基于八分叉树的网格加密方法.网

格修改后，单元信息和节点信息发生了改变，同

时，设计变量空间也发生了相应的改变，需要将设

计域密度场信息由原优化设计变量空间映射到新

的优化设计变量空间，进行下一轮优化迭代.为了

避免棋盘格式，得到更清晰的边界，本文采用了非

线性密度过撞函数

[15J

对密度场进行过滤.这种自

适应准则可以减小材料边界处的灰色区域，提高

材料边界光滑程度，同时减少设计变量空间的维

数，降低了有限元分析和优化计算的规模.描述密

度场信息的网格和结构有限元分析的网格是同一

套网格，采用了具有网格自适应功能的有限元分

析程序进行结构分析.

优化模型

2.1

优化问题数学模型

给定设计域，将其划分为有限元网格，设计变

量为单元节点密度，优化目标为最小化结构柔顺

性，结构发生的变形为线性弹性，约束为材料用量

约束，优化问题数学模型如下:

min

FTU

s. t

三

iUJ/V

幡

-1ζ0

(1)

j~1

昌

= F

ζρ

i<l;i=l

，

…，

式中

:ρa

为单元节点密度

为节点总数;品为第

号单元密度

为单元密度向量问为第

号单元

体积

为单元总数

剖为材料体积上限

为结

构刚度矩阵

为节点位移向量

为结构外力向

量.

2.2

材料插值模型

这里采用改进的

SIMP

方法

(modified

solid

isotropic

material

with

penalization)

进行结构拓

扑优化，在这个方法中第

号单元的弹性模量

是单元密度

的函数，其表达式为

Eι

品

μ)

min汩

lin

+占

p;(E

ι0

一

min

)

品

，

口

(2υ

式中

为密度惩罚指数，这里取

3;Emin

咀巾巾

是弹

性模量下限值，对应于品品

队，为了避免结构刚度

矩阵奇异，这里取

巾

川

→占

为材料弹性模

量，这里取

1.采用改进的

SIMP

方法的好

处在于单元弹性模量下限值与单元密度惩罚因子

无关，便于采用非线性密度过滤技术口

2.3

密度过滤技术

为了避免出现棋盘格式，减少材料边界灰色

区域，采用基于

Heaviside

函数的非线性密度过

滤技术[叫.以单元

的形心

为中心，过滤半径

min

内的所有节点密度加权平均得到单元

的密

度

ι.

二维情况下，单元密度过滤的影响域为以

为圆心，

Rmin

为半径的圆

三维情况下，影响域为

以

为球心

，

Rmin

为半径的球.令单元密度过撞影

响域中单元节点集合为凡，单元密度表达式为

三

Jw(Xz)pz

户

~ω

(X)

(3)

式中

:ρi

为集合

中第

号节点密度值

，

w(X)

为

其加权系数，表达式为

-X.

14J(Xi)=1-R-n

(4)

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