泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法 (2006年)

采用3阶精度中心差分格式对Dirichlet边界条件下的二维泊松方程进行离散,近边界网格点处采用2阶精度差分格式进行离散,利用超松弛迭代进行矩阵求解.数值计算结果表明,该有限差分方法具有收敛速度快、精度高的特点,可推广应用于非等间距网格下其他类型偏微分方程的数值求解. 泊松方程作为数学中的重要椭圆型偏微分方程，是多个物理及工程领域模型的基础。例如在电磁学中，泊松方程描述了电势与电荷分布的关系；在流体力学中，它描述了速度场与压力场之间的关系；在热传导理论中，它用于表达温度分布。鉴于泊松方程在这些领域中的广泛用途，发展出高效且准确的数值求解方法显得尤为重要。 传统的数值求解技术往往在等间距网格上进行，但这在解决实际问题时可能会遇到困难，尤其是在处理复杂几何形状和不同区域需要不同网格密度的问题时。为了解决这些问题，研究者们将目光投向了非等间距网格方法。2006年的这篇论文就针对非等间距网格提出了一个有效的泊松方程数值求解方法。 论文采用的方法是结合3阶精度的中心差分格式与2阶精度差分格式对泊松方程进行离散化。在二维情况下，Dirichlet边界条件下的泊松方程采用3阶精度中心差分格式，因为这种方式在内部网格点处能够提供足够的精度。然而，靠近边界的网格点处，由于边界的约束作用，会采用2阶精度差分格式。这种差异化的离散策略既可以确保内部网格点的精度，又能保证边界附近网格点的稳定性和计算的可靠性。 为了解决非线性方程，研究者采用了超松弛迭代法（SOR）。该方法通过调节松弛因子可以加速迭代的收敛性，从而在计算过程中节约时间。尽管SOR方法在某些情况下收敛速度可能不如某些其他迭代方法快，但其简易性和在非线性问题中的良好表现使其成为求解偏微分方程的有力工具。 数值计算结果验证了该方法的高效性和高精度特点。论文对比了等间距网格和非等间距网格的求解效果，发现非等间距网格在保持同样精度的情况下，能更有效地处理具有复杂几何形状和不同尺度特性的区域。此外，论文也指出，传统的等间距网格方法在网格较粗时精度不足，而紧致格式虽然精度高，却受限于等间距网格的要求。 值得注意的是，论文还引用了Gamet等人的工作，他们的研究成功地将非等间距网格和紧致格式应用于Navier-Stokes方程的求解中。这项工作为泊松方程的数值求解提供了宝贵的经验，表明非等间距网格和高精度格式的结合，在处理复杂问题时具有极大的潜力和优势。 总结来说，这篇论文为非等间距网格下泊松方程的数值求解提供了一种新的策略，它通过适应性地调整差分格式的精度，并利用超松弛迭代法的高效性，实现了在有限计算资源下的高精度求解。该方法对于需要在特定区域使用精细网格的工程问题具有特别的意义，能够有效降低计算成本，同时保证求解结果的准确性。因此，这种数值求解方法不仅对泊松方程的研究具有推动作用，也为其他偏微分方程的数值求解提供了宝贵的参考。