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北京大学学报〈自然科学服)
,第
25
卷,第
1
期,
1989
年
Acta Scientiarum Natura
Ii
um
Universitatis Pekinensis,
Vo
l.
25,
N
量 1
(1
989)
复合材料层合板的稳定性分析
玉颖坚
〈力学~)
'
摘要
本文从适用于几何非线性分析的增量形式的虚功方程出发,建立了有限元计算公式。
为保证
层合板各层间的变形协调性,采用了离散罚函数方法。
运用弧长站在稳定性计算中跟踪平衡过程
曲线。进行了后屈曲分析。用有限元程序,计算了几个算例,得到较好的结果。
关键词
复合材料层合板:稳定性分析;罚函数法
z
弧长法
,
1.引
A=
冒
复合材料结构具有较高的比刚度、比强度,并且可以根据使用上的要求,构造相应的构
件,使得在所要求的方向上具有较高的强度。复合材料结梅,在航天、航空及民用工程上得
到了日益广泛的应用。
复合材料层合板的稳定性分析,将为结构设计提供必要的依据。
复合材料层合板的线性稳定性分析,在某些边界条件下,可以求出临界载荷。然而,层
合板屈曲以后,仍然可以承受载荷,直至破坏。因此,为了发挥结构的潜在强度,应当进行
后屈曲分析。这一点是线性稳定性分析无法完成的。
为了研究复合材料层合板超过极限点后的后屈曲特性,我们必须从弹性体的大变形分析
入手,建立适用于非续性有限元分析的虚功方程。
2.
增量形式的虚动方程
我们用总体
Lagrange
公式
(totaI
Lagrange
formulation)
来描述弹性体的非线性变
形。为此,考虑弹性体的几种变形状态
z
状态
C
。一一弹性体的初始状态
p
状态
C"
--对应于载荷状态
(p"
,
F")
的弹性体变形状态
z
状态
C
,,
+I-
一当载荷自上一状态获得某增量时,弹性体所达到的新的变形状态。
对于状态
C
嚣,作用于弹性体边界面上的力和体职力的虚功
W
y
=\
P".δu
dA
I1
+
\ρF"
• ö u
dV"
( 1 )
.J
av
U_
.J v
l1
这里
,l
V
I1表示在状态
C"
时弹性体的体积,
avσ
思是给定应力的部分边界面
(avσ
l1
+
av
" ,,==
本文
1987
年
9
月
24
日收到。
第
25
巷
fJ
V..)
。二
P"
为fJ
V".
上单位面积的面力,
(1)
式中的第一个积分
报
F
n
是
V.
中单位质量上的体力。
学
学
大
京
~~
76
j
FaJ
言
dA..
=~
t".δ
言
dA
lV
,,_
J'V"
=\
N • T
.δudA
= \
N.
T
.δudA
J ,
v"o
JiTO
、,
、
其中
ôV
o
是
C
o
时弹性体的边界面
,
ôV".
为给定应力的部分边界面
(ôVo=ôV
ao
+
ôV.
O
)
。
T
是第一
Piola-Kirchhoff
应力张量。
t"
是作用于
8
飞,的单位面积上的虚假表面力张
量。
35
为法向量。
根据
Gauss
公式,
,
tV'
百.
T
.向
A=jJ·
〈
Z-dNV
=jJ
亨
.
1)
.向
v+jJ:
〈向亨
dV
L_ρ7··δτdV
n
=~
p
,
F:.
而
v
v
重
JV.
F:
相当于
C.
时的单位质量上的体力。由
又因
式中
ρ
、
ρ
。分别为
C
n
与
C
O
时的材料密度,
方程
(1)
得知
W.=
\
(V.
T
十
ρoFD.
ðu
•\
T:(ðu)VdV
JVo
、.J
V
rI
---
考虑到平衡方程,我们有
L.!:(
向亏
dV
=~_tn.
ð-;dA
+~ρ
启.
ð~dV
V
o
-..
Jrr
O'
o
J
由于
[1]
T
=
S".
(Qn)T
其中
S'
是第二
Piola-Kirchhoff
应力张量
Q
虱是对应于状态
C
n
的变形梯度张量,
oa-azt
一一
可
ôX
j
u'
为
C.
对应的位移。于
标
坐
的
点
2
内
→
u体
+性
→
X
弹
=时
•
zph
为
•
x
X
为
C
o
时弹性体内点的坐标,
是
L.
[.ê.
..刊的
TJ:
(尚可
dV
=\
τn
•
ð-;dA
+
~ρJ:-o
言
dV
Vo
.J
ðV
"9
JV~
同理,对状态
C
刊我们有
,
•
结
1
期
复合材料层合板的稳定性分拆
'tf
L.
[!_+l
.
(~叫
T]
:(向亏
dv=jTM1·δ
言
dA
+~ρ.
正
γ1
.δ
言
dV
(2)
Vo
、圃
JiV
ø
•
JV
,
Green-Lagrange
应变张量
[1]
e a
=告
[(O-)T.
0.-1]
其中
I
为单位张量,令
Ae='e-+
I
e
R
A S = S
11+1
-
S.
-'‘
A U = U
-+1
U = u
-,.-
t
-+1=
t
a+At
r:+
1
=F:+
AF
对于状态
C
Il
+
U
利用第二
Piola-KirchhoH
应力张量的对称性,可以证明
[ S
&+
1 • ( 0
D+
1
)TJ:
仿古a+
J)
亨
=[5&+1.
(O
R+
l)T]:[δ(A
言)]亏
= 5
a+
J : ð(A e )
令
Ae=Ae+
A
η
其中
Ae
为
Ae
的线性部分,
A
η
为
Ae
的非线性部分
z
于是
Aejj
=(AUi.j +
AU
j,
1 + U:.IAuk.j +
U:
.jAu
t.,
I)/2
A
fJ
lj
=
Au
t.
.IAut.j/2
S
11+1:δ(A!.)=
芝割地
(A
乏)+芝
a:
ð(Aη)+A
芝
:δ(A
乏〉
我们得到
这里
L.
[A~:δ(A
e)+
S
D:δ(A
.?OJdV =
tv
II
t
.δ
〈山
dA
'f
o
、、
JiV
ø.
+
~
PoA
F
.δ(Aτ)dV
+\τa
• ð
(A
~)dA
+
\ρJ:·δ(A
ü"
)dV
JV.
JiV".
JV.
- \ 5
a:δ(Ae
)dV
JV.
、
=
tv
ø
•
Aτ·δ
〈
AI
〉
dA+jvf-AT·δ
(A
ü")仙。
R
报
=jave-7··δ
〈
AbdA+jJJ:-6
〈
AbdV-iJa:KA
之
)dV
(
3)
非线性选代过程中,在状态
C.
时平衡条件不能严格满足,从而也斗。,它是由于不平衡而
产生的附加载荷。
方程
(3)
适用于几何非线性分析,根据它我们导出了有限元计算公式。
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