任意有限个平行移动荷载作用下简支梁绝对最大挠度的解析算法研究 (2004年)

利用能量原理中的最小势能原理以及多元函数的极值原理，得到了简支梁在任意有限个平行移动荷载作用下的挠度方程与绝对最大挠度的解析算式。建立的可能位移函数既满足了位移几何边界条件，又满足了静力边界条件，故足可以保证简支梁的挠度计算精度。 ### 任意有限个平行移动荷载作用下简支梁绝对最大挠度的解析算法研究 #### 1. 引言 在桥梁和吊车梁的设计计算中，经常会遇到简支梁受到一组平行移动荷载作用的情况（如图1所示）。简支梁横截面上存在绝对最大弯矩和绝对最大挠度，其中绝对最大弯矩用于强度计算，而绝对最大挠度则用于刚度校核计算。然而，在传统设计计算中，往往重视强度计算而轻视刚度计算，特别是在绝对最大挠度的计算方面，通常采取估算的方式，具有一定的主观性和随意性。 主要原因之一是在现有结构计算手册和结构力学教材中缺乏直接查用的绝对最大挠度计算公式。随着设计技术和材料性能的发展，建造更轻柔的结构成为可能，但这也会导致高速重载列车引起的大挠度和振动问题，严重影响桥梁的安全使用性能。因此，研究移动荷载作用下产生的绝对最大挠度计算方法具有重要意义。 #### 2. 计算方法 为了求解任意有限个移动荷载作用下简支梁的绝对最大挠度，首先需要考虑简支梁的位移几何边界条件和静力边界条件。基于这些条件，可以假设一种可能的位移函数作为简支梁的近似挠度方程，该方程含有待定参数。通过能量原理中的最小势能原理来确定这些待定参数，进而找到梁的真实挠度方程。 一旦获得了任意有限个移动荷载作用下梁的挠度方程，就可以进一步利用多元函数的极值条件来确定绝对最大挠度发生的位置以及对应的移动荷载作用位置，最终得到绝对最大挠度的解析计算公式。 #### 3. 建立可能位移函数 在本节中，我们将详细介绍如何建立可能位移函数。 ##### 3.1 位移几何边界条件 假设简支梁的两端分别为A和B支座，它们的竖向挠度恒为零。这意味着在A和B支座处的位移（挠度）必须满足以下条件： \[ w(x,x^-)|_{x=0} = 0, \quad w(x,x^-)|_{x=L} = 0 \] 这里 \( x \) 表示横截面的位置，\( x^- \) 表示第一个移动荷载P1与A支座的距离。 ##### 3.2 静力边界条件 在A和B支座处，简支梁的弯矩也应为零。根据梁的弯曲理论，弯矩 \( M(x,x^-) \) 可以通过挠度的一阶导数计算得出： \[ M(x,x^-) = -EI\frac{d^2w}{dx^2} \] 因此，静力边界条件可以表示为： \[ \left.\frac{d^2w}{dx^2}\right|_{x=0} = 0, \quad \left.\frac{d^2w}{dx^2}\right|_{x=L} = 0 \] ##### 3.3 建立可能位移函数 \( w(x,x^-) \) 结合位移几何边界条件和静力边界条件，我们可以通过积分的方式构建可能位移函数 \( w(x,x^-) \)。具体而言： 假设二阶导数形式为： \[ \frac{d^2w}{dx^2} = x(L-x) \] 积分得到： \[ w(x) = \frac{L}{6}x^3 - \frac{x^4}{12} + Ax + B \] 利用位移几何边界条件 \( w(x,x^-)|_{x=0} = 0 \) 和 \( w(x,x^-)|_{x=L} = 0 \)，可以解出： \[ B = 0, \quad A = -\frac{1}{12L} \] 因此，可能位移函数 \( w(x,x^-) \) 为： \[ w(x) = \frac{L}{6}x^3 - \frac{x^4}{12} - \frac{1}{12L}x \] 通过对位移几何边界条件和静力边界条件的分析，我们可以建立起满足这些条件的可能位移函数 \( w(x,x^-) \)，进而为后续的挠度方程求解提供了基础。通过进一步的数学推导，可以得到任意有限个移动荷载作用下简支梁绝对最大挠度的解析计算公式。