直觉模糊集熵的一种计算公式(2013年)资源-CSDN文库

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２０１３年

第３３卷　第５期

河北大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

２０１３

Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．５

ＤＯＩ：１０．３９６９／

ｊ

．ｉｓｓｎ．１０００１５６５．２０１３．０５．０１７

直觉模糊集熵的一种计算公式

田大增

１，２

，杨忠堂

１

，王超

２

，哈明虎

１

（１．河北大学数学与计算机学院，河北保定　０７１００２；２．河北大学物理科学与技术学院，河北保定　０７１００２）

　　摘　要：为进一步精确度量直觉模糊集的模糊性，改进了直觉模糊集的模糊度的公理化形式，并给出了

直觉模糊集的模糊度计算公式．利用直觉模糊集的模糊度和犹豫度，给出了直觉模糊集熵的计算公式，并举

例验证了该计算公式的有效性．

关键词：直觉模糊集；模糊度；犹豫度；熵

中图分类号：Ｏ１５９　　　文献标志码：Ａ　　　文章编号：１０００１５６５（２０１３）０５０５３６０７

Ａｎｅｎｔｒｏｐｙｆｏｒｍｕｌａｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ

ＴＩＡＮＤａｚｅｎｇ

１，２

，ＹＡＮＧＺｈｏｎｇｔａｎｇ

１

，ＷＡＮＧＣｈａｏ

２

，ＨＡＭｉｎｇｈｕ

１

（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂａｏｄｉｎｇ０７１００２，Ｃｈｉｎａ；

２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＰｈｙｓｉｃｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂａｏｄｉｎｇ０７１００２，Ｃｈｉｎａ）

　　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏｍｅａｓｕｒｅｆｕｚｚｉｎｅｓｓｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，ａｎａｘｉｏｍｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆ

ｆｕｚｚｙｄｅｇｒｅｅｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓｉｓｆｕｒｔｈｅｒｍｏｄｉｆｉｅｄ，ａｎｄａｆｕｚｚｙｄｅｇｒｅｅｆｏｒｍｕｌａｉｓｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎ，ｂｙｕ‐

ｔｉｌｉｚｉｎｇｂｏｔｈｆｕｚｚｙｄｅｇｒｅｅａｎｄｈｅｓｉｔａｎｔｄｅｇｒｅｅｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ，ａｎｅｎｔｒｏｐｙｆｏｒｍｕｌａｏｆｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ

ｆｕｚｚｙｓｅｔｓｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｅｎｔｒｏｐｙｆｏｒｍｕｌａｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙａｎｅｘａｍｐｌｅ．

　收稿日期：２０１３０１２０

　基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１０７３１２１）；河北省自然科学基金资助项目（Ａ２０１２２０１０３３；Ｆ２０１２４０２０３７）；河北省教

育厅自然科学青年基金资助项目（Ｑ２０１２０４６；Ｑ２０１２０６８）

　第一作者：田大增（１９６５），男，河北沧县人，河北大学教授，主要从事不确定统计学习理论方向研究．

Ｅ‐ｍａｉｌ：ｔｄｚ１９６５１２０４＠ｈｂｕ．ｅｄｕ．ｃｎ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ；ｆｕｚｚｙｄｅｇｒｅｅ；ｈｅｓｉｔａｎｔｄｅｇｒｅｅ；ｅｎｔｒｏｐｙ

　　熵是描述系统混乱程度的一种度量，最初应用于热力学中．１９４８年Ｓｈａｎｎｏｎ

［１］

为描述信息的随机不确

定性，首次将熵引入到信息论中．模糊性作为信息的另一种不确定性，能够描述事物的“亦此亦彼”特性，摆脱

了分明集“非此即彼”的限制，也逐渐受到学者的关注．为描述模糊集

［２］

的不确定性即模糊性，１９６８年Ｚａ‐

ｄｅｈ

［３］

首先提出了模糊熵的概念．继而ＤｅＬｕｃａ和Ｔｅｒｍｉｎｉ

［４］

于１９７２年提出了模糊熵的公理化定义并利用

Ｓｈａｎｎｏｎ函数构造了模糊熵的计算公式．之后Ｋａｕｆｍａｎｎ

［５］

，Ｙａｇｅｒ

［６］

，Ｋｏｓｋｏ

［７］

等人利用不同的方法，构造了

其他形式的模糊熵．然而，模糊熵仅限于度量模糊集的模糊性，在更为广泛的条件下却不适用．

１９８３年Ａｔａｎａｓｓｏｖ

［８］

进一步发展和扩充了模糊集，提出了直觉模糊集．直觉模糊集在模糊集基础上增加

了一个新的属性参数 ——— 非隶属度，进而可以描述“非此非彼”的模糊概念．为度量直觉模糊集的不确定性，

很多学者对直觉模糊集的熵进行了研究．１９９６年，Ｂｕｒｉｌｌｏ和Ｂｕｓｔｉｎｃｅ

［９］

首先引入直觉模糊集的熵，然而这个

熵的定义与模糊熵之间不具有相容性．２００１年Ｓｚｍｉｄｔ和Ｋａｃｐｒｚｙｋ

［１０］

利用距离度量，提出另一种直觉模糊

第５期田大增等：直觉模糊集熵的一种计算公式

集的熵的定义，在此定义中当直觉模糊集退化为模糊集时，满足模糊熵的公理化定义．２００６年，Ｈｕｎｇ和

Ｙａｎｇ

［１２］

通过对ＤｅＬｕｃａ和Ｔｅｒｍｉｎｉ提出的模糊熵公理化定义扩展，提出了２种新的直觉模糊集的熵的计算

公式．

２０１１年，吕印超和郭嗣琮

［１３］

指出直觉模糊集的熵应该是模糊性与犹豫性两者的综合性度量即模糊度与

犹豫度的综合，进而给出了直觉模糊集熵的新公理化定义和直觉模糊集的熵的一般形式．然而在直觉模糊集

的模糊度中蕴含了犹豫度，不能精确描述直觉模糊集的模糊性．基于此，本文进一步讨论了直觉模糊集的模

糊度的公理化定义及其计算方法，并给出了直觉模糊集熵的计算公式．

１　预备知识

本文中，记Ｐ（Ｘ），Ｆ（Ｘ），

（Ｘ）分别为论域Ｘ上的分明集的全体，模糊集的全体，直觉模糊集的全体．如

无特别声明，均记ｌｏｇ

２

ｘ＝ｌｏｇｘ．

定义１

［４］

　橙Ａ，Ｂ ∈ Ｆ（Ｘ），隶属函数分别为

Ａ

（ｘ），

Ｂ

（ｘ）．映射Ｈ

ＦＳ

：Ｆ（Ｘ） → Ｒ

＋

若满足条件

１）Ｈ

ＦＳ

（Ａ）＝０骋Ａ ∈ Ｐ（Ｘ）；

２）Ｈ

ＦＳ

（Ａ）取值最大骋ｘ ∈ Ｘ，

Ａ

（ｘ）＝０畅５；

３）

Ａ

（ｘ） ≤

Ｂ

（ｘ） ≤ ０畅５，则Ｈ

ＦＳ

（Ａ） ≤ Ｈ

ＦＳ

（Ｂ）；

或者

Ａ

（ｘ） ≥

Ｂ

（ｘ） ≥ ０畅５，则Ｈ

ＦＳ

（Ａ） ≤ Ｈ

ＦＳ

（Ｂ）；

４）Ｈ

ＦＳ

（Ａ）＝Ｈ

ＦＳ

（Ａ

Ｃ

），

则称Ｈ

ＦＳ

（Ａ）为模糊熵．

定义２

［８］

　设Ｘ是一个非空集合，称Ａ＝｛枙ｘ，

Ａ

（ｘ），

Ａ

（ｘ）枛｜ｘ ∈ Ｘ｝为Ｘ上的直觉模糊集，其中

Ａ

（ｘ）

∈ ［０，１］和

Ａ

（ｘ） ∈ ［０，１］分别为Ｘ中元素属于Ａ的隶属度和非隶属度，且满足条件０ ≤

Ａ

（ｘ）＋

Ａ

（ｘ） ≤ １，

ｘ ∈ Ｘ．

在定义中，若橙ｘ ∈ Ｘ，有

Ａ

（ｘ）＋

Ａ

（ｘ）＝１，则直觉模糊集退化为模糊集．对于给定的ｘ ∈ Ｘ，称

Ａ

（ｘ）＝

１－

Ａ

（ｘ）－

Ａ

（ｘ）为元素ｘ属于的犹豫度．记

ｓ

Ａ

（ｘ）＝

Ａ

（ｘ）－

Ａ

（ｘ）；

ｈ

Ａ

（ｘ）＝

Ａ

（ｘ）＋

Ａ

（ｘ）．

于是，有

Ａ

（ｘ）＝１－ｈ

Ａ

（Ｘ）；若Ａ是经典集合，则｜ｓ

Ａ

（Ｘ）｜＝１．

直觉模糊集Ａ的补集Ａ

ｃ

＝｛枙ｘ，

Ａ

（ｘ），

Ａ

（ｘ）枛｜ｘ ∈ Ｘ｝．当直觉模糊集Ａ的犹豫度

Ａ

（ｘ）＝１，隶属度和

非隶属度皆为０时，笔者称Ａ是完全直觉的．

定义３

［１１］

Ｓ（ｘ）＝－ｘｌｏｇｘ－（１－ｘ）ｌｏｇ（１－ｘ），０＜ｘ＜１．

Ｓ（ｘ）具有如下特性：

１）当ｘ → ０或ｘ → １时，Ｓ（ｘ） → ０；

２）当ｘ＝０畅５时，Ｓ（ｘ）有最大值，反之亦然；

３）Ｓ（ｘ）在区间（０，０畅５］上是单调增加的，在［０畅５，１）区间上是单调减少的．

定义４

［１３１４］

Ｆ

Ａ

（ｘ）＝１－｜ｓ

Ａ

（Ｘ）｜＝１－｜

Ａ

（ｘ）－

Ａ

（ｘ）｜，

称Ｆ

Ａ

（ｘ）为ｘ在Ａ中的模糊度．

定义５

［１３］

　橙Ａ，Ｂ ∈

（Ｘ），称实函数Ｈ

ＩＦＳ

：

（Ｘ） → Ｒ

＋

为

（Ｘ）上的熵．如果Ｈ

ＩＦＳ

满足下列条件

１）Ｈ

ＩＦＳ

＝０骋Ａ ∈ Ｐ（Ｘ）；

２）Ｈ

ＩＦＳ

＝１骋橙ｘ ∈ Ｘ，

Ａ

（ｘ）＝

Ａ

（ｘ）＝０畅５ｈ

Ａ

（ｘ）；

３）橙ｘ ∈ Ｘ，若

Ａ

（ｘ）＝

Ｂ

（ｘ）且Ｈ

（Ｉ）ＦＳ

（Ａ） ≤ Ｈ

（Ｉ）ＦＳ

（Ｂ），则Ｈ

ＩＦＳ

（Ａ） ≤ Ｈ

ＩＦＳ

（Ｂ）；

若

Ａ

（ｘ） ≤

Ｂ

（ｘ）且Ｈ

（Ｉ）ＦＳ

（Ａ）＝Ｈ

（Ｉ）ＦＳ

（Ｂ），则Ｈ

ＩＦＳ

（Ａ） ≤ Ｈ

ＩＦＳ

（Ｂ）；

·７３５·

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