杨辉三角，又称贾宪三角，是数学中一个非常有趣的数形结合现象，其在组合数学、二项式定理等领域有着重要的应用。在计算机编程中，我们可以利用C语言或其他编程语言来实现杨辉三角的输出。以下是对如何使用C语言在屏幕上输出杨辉三角的详细解释。
理解杨辉三角的基本结构和规律是至关重要的。杨辉三角每一行的两端都是1，中间的每个数是它上一行相邻两个数的和。例如，第n行的第k个数（k从0开始计数）可以表示为C(n, k)，即n选k的组合数。当n=3时，第3行的第3个数（即中间的数）是2，这正是二项式乘方展开式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2中的系数。
为了用C语言输出杨辉三角，我们可以按照以下步骤进行：
1. 定义一个二维数组arr，用于存储杨辉三角的数值。考虑到我们要输出前10行，可以定义一个10x10的数组，初始值全部设为0。
```c
int arr[10][10] = {0};
```
2. 初始化数组的第一列和对角线上的数为1，因为这些位置的数在杨辉三角中始终是1。
```c
for (i = 0; i < 10; i++) {
arr[i][0] = 1;
arr[i][i] = 1;
}
```
3. 计算杨辉三角的中间部分，即除第一列和对角线外的其他位置。这里使用两个嵌套循环，外层循环控制行数，内层循环计算当前行的每个数。每个数等于它上一行左边的数加上上一行右边的数。
```c
for (i = 2; i < 10; i++) {
for (j = 1; j < 10; j++) {
arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j];
}
}
```
4. 输出杨辉三角。这里同样使用两个嵌套循环，外层循环控制行数，内层循环控制每行的空格数，然后逐个输出该行的数。
```c
for (i = 0; i < 10; i++) {
for (k = 0; k < 10 - i; k++) {
printf(" ");
}
for (j = 0; j <= i; j++) {
printf("%d ", arr[i][j]);
}
printf("\n");
}
```
在代码中，`system("pause")`是为了在输出完成后暂停程序，让用户有时间查看结果，这不是必要的，但有助于调试和观察。
通过以上步骤，C语言就可以实现杨辉三角的输出。这个过程不仅展示了C语言的基本语法，还体现了数学规律在编程中的应用。对于学习C语言的程序员来说，这是一个很好的练习，有助于提升逻辑思维能力和问题解决能力。同时，理解杨辉三角的数学原理也有助于深入学习组合数学和二项式定理。
