直觉模糊演算是一种新兴的研究领域，它扩展了传统模糊集合论的范围，其中直觉模糊集合（A-IFS）是由Atanassov在1983年提出的。在模糊集合论中，一个元素属于一个集合的程度是由隶属度函数来描述的，而直觉模糊集合则进一步引入了非隶属度函数和犹豫度函数。隶属度和非隶属度函数共同构成了元素对集合的隶属程度和不隶属程度，而犹豫度函数则用来描述元素的不确定性程度。
直觉模糊数（IFNs）是直觉模糊集合中的核心概念，它可以表示为一个三元组，包含隶属度、非隶属度和犹豫度。直觉模糊演算的提出，是为了在直觉模糊环境下，对直觉模糊数进行数学上的操作，包括求导、微分、不定积分和定积分等。
在本研究论文中，作者主要探讨了直觉模糊演算中的一些新结果，特别关注于链式法则、微分的形式不变性以及不定积分和定积分的替换规则。链式法则指的是在计算复合函数的导数时，可以将复合函数分解为简单的函数组合，并分别求导后按照一定规则组合起来。形式不变性则表明，在微分运算过程中，函数的某些形式特征是不变的。而积分的替换规则涉及在积分计算中，通过等价替换以简化积分的运算过程。
在论文的介绍部分，作者首先回顾了模糊集合理论的实用性和成功应用案例，并指出了直觉模糊集合由于能够克服传统模糊集合在描述某些模糊概念时的局限性，从而具有重要性和广泛的应用价值。Atanassov提出的直觉模糊集合包含隶属函数和非隶属函数，以及用来表示元素在隶属与不隶属之间犹豫不确定性的犹豫函数。因此，直觉模糊集合在描述信息的不确定性时比传统模糊集合更为丰富和精确。
论文的主体部分对直觉模糊演算进行了深入研究，得出了一些新结果，这些建立在直觉模糊数的导数、微分、不定积分和定积分的早期研究基础之上。直觉模糊导数关注的是函数值对于参数变化的敏感程度，而微分则关注的是函数在某一点处的瞬时变化率，即函数的斜率。不定积分与定积分则分别从无限和有限区间上对函数进行积分计算，以得到函数图像下的面积表示。
研究中所提及的链式法则，指的是当函数是由复合函数组成时，可以先分别求出内函数和外函数的导数，然后按照链式法则将这两个导数结合起来，得到复合函数导数的过程。在直觉模糊演算中，链式法则的提出和证明是该领域的一个重要进步，因为它允许研究者对复杂函数关系进行更深入的分析和计算。
微分的形式不变性在直觉模糊演算中意味着，尽管函数经过某些变换，例如线性变换，其微分后的形式仍然保持不变。这一性质在数学分析中具有重要意义，因为它保证了微分运算在不同形式的函数上的一致性和可靠性。
不定积分和定积分的替换规则为研究者提供了更为灵活的积分运算方法。替换规则涉及到将积分变量替换为新的变量，但同时保持积分值不变。在直觉模糊演算中，这一规则能够帮助研究者简化复杂积分的计算过程，特别是在涉及到非标准模糊数的场合。
直觉模糊演算的链式法则、微分的形式不变性以及不定积分和定积分的替换规则是该领域研究的重要成果。这些成果不仅为直觉模糊演算提供了强有力的数学工具，也推动了模糊逻辑与理论在实际应用中的进一步发展。
