二维拉普拉斯方程是数学中的一种微分方程，在物理学中有广泛的应用。在电磁学中，拉普拉斯方程用于描述静电势场，它是一种场方程，无源时即为拉普拉斯方程。在静电系统中，特别是在具有正弦波纹壁边界条件的情况下，求解拉普拉斯方程可以得到电势的分布，进而分析静电系统的特性。本文研究了一个特定的静电系统，其中包含两块相互平行的金属平板，上板被刻蚀成波纹状并施加负电压，而下板保持光滑并接地。在这种条件下，电势满足具有正弦波纹壁边界条件的二维拉普拉斯方程，通过对变量分离法的运用，详细导出了场的解析解。
静电系统中的波纹状上板相当于一个电场波导器，它能够对入射的相对论性电子进行调制。这种调制作用与自由电子激光器（Free Electron Laser，FEL）中使用的磁性波导器（wigglers）相似。磁性波导器是磁静系统，其中的磁体被交替排列以形成正弦分布的磁场。相对论性电子在这样的周期性磁场中运动时，会产生电磁辐射。自斯坦福大学自由电子激光器的先导操作之后，还提出了其他形式的波导器，它们预期具有与磁性波导器类似的作用。
在这篇论文中，作者张世昌来自西南交通大学光电信息学院，他详细推导了具有正弦波纹壁边界条件的二维拉普拉斯方程的解析解，并展示了该静电系统如何能够像磁性波导器一样调制相对论性电子。自由电子激光器是一种新型的相干辐射源，具有高效率、强大的输出功率，且可以从微波到X射线范围，特别是远红外范围内进行频率调节。自由电子激光器的基本原理是基于相对论性自由电子在波导器中所产生的相干辐射。
论文中提到的电磁波波导器，其波的分量在空间和时间上呈现正弦波动，并以此控制相对论性电子。此外，还有一种被称为静电波导器的装置，它采用的是带电环加载波导器，其中的环彼此绝缘。本项研究得到了中国大学-学院博士科学基金（No.***）和国家自然科学基金（No.***）的部分支持。
在研究自由电子激光器的波导器时，提出了两类主要的波导器，一类是电磁波波导器，其波的分量在空间和时间上呈现正弦波动，并以此控制相对论性电子。另一类是静电波导器，即通过使用相互隔离的带电环加载波导器来调制电子。
在解析求解过程中，对变量进行分离，并详细推导出了解析解。这表明，通过改变波纹状上板的几何形状和电压，可以有效控制静电场中相对论电子的运动，从而影响自由电子激光器的性能。论文中的解析解不仅对理论物理研究有重要意义，对工程应用和相关技术的发展也具有潜在价值。通过精确地控制电场分布，可以改善激光器的性能，提高其相干性、效率和调频范围，进而拓展自由电子激光器在科研、医疗及工业领域的应用。
该论文为今后进一步研究和开发基于静电波导器的自由电子激光器提供了新的思路，也对其他领域中静电系统的设计与优化具有启发性意义。通过对电势分布的深入理解，研究人员可以探索更多基于静电作用的微电子和光电子设备，推动相关技术的进步。同时，该研究还展示了数学模型在解决物理问题中的重要性，验证了分离变量法在复杂电磁场问题求解中的有效性。
