第２９卷第１期
２０１２ 年 ２ 月
计 算 力 学 学 报
Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｖｏｌ ．２９ ，Ｎｏ ．１
Ｆｅｂｒｕａｒｙ ２０１２
文章编号 ：１００７‐４７０８（２０１２）０１‐０１１１‐０７
两 类 网 格 结 构 模 型 的 预 处 理 方 法
肖映雄
倡 １
， 陈 鹏
２
， 舒 适
２
（１ ．湘潭大学 土木工程与力学学院 ，湘潭 ４１１１０５ ；２ ．湘潭大学 数学与计算科学学院 ，湘潭 ４１１１０５）
摘 要 ：针对参考节点分别为
ｑ
＝ ３ 和
ｑ
＝ ４ 的网格结构模型 ，设计了两种预处理方法 ：以块对角逆为预条件子的
共轭梯度法（ＢＰＣＧ）及以块下三角逆为预条件子的 ＰＧＭＲＥＳ 法 。 数值结果表明 ，ＢＰＣＧ 法对
ｑ
＝ ３ 具有很好的求
解效率和鲁棒性 ，但对
ｑ
＝ ４ 的情形 ，特别是当 α 很小时 ，其求解效率将变得很差 。 当 α 很小时 ，以块下三角逆为预
条件子的 ＰＧＭＲＥＳ 法对求解
ｑ
＝ ４ 的蜂窝状结构在计算 ＣＰＵ 和算法稳定性等方面均全面占优 。 在这两种预处
理方法中 ，利用了基于标量椭圆问题的 ＧＡＭＧ 法求各个子块矩阵的逆 ，以提高内迭代运算效率 。 近似连续方程
的建立为内迭代方法的合理性提供了有效的理论支撑 。
关键词 ：网格结构 ；预条件子 ；代数多层网格 ；条件数 ；近似连续方程
中图分类号 ：Ｏ２４２ ．２１ ；ＴＢ１１５ 文献标志码 ：Ａ
收稿日期 ：２０１０‐０８‐２０ ；修改稿收到日期 ：２０１１‐０１‐０４畅
基金项目 ：国家自然科学基金（１０９７２１９１） ；国家自然科学基金
重点（１１０３１００６） ；湖南省高校科技创新团队支持
计划 ；湖南省教育厅优秀青年（０９Ｂ１００）资助项目 ．
作者简介 ：肖映雄
倡
（１９７０‐） ，男 ，博士 ，教授
（Ｅ‐ｍａｉｌ ：ｘｙｘ６１０ｘｙｘ＠
ｙ
ａｈｏｏ ．ｃｏｍ ．ｃｎ） ；
舒 适 （１９６２‐） ，男 ，教授 ，博士生导师 ．
１ 引 言
网格结构材料由于具有许多特殊的性质 ，如吸
收能量的能力强 、质量轻等优点 ，已成为理想的轻
质结构材料和优质表层材料 ，并大量出现在航空 、
航天等高新技术领域及民用产品中 ，具有广泛的应
用前景
［１］
。 在计算这种多胞材料时一般连续模型
的做法是将其等效为连续介质 ，该做法的优点是计
算量小 ，但精度不够 。 近年来 ，基于线弹性力学理
论 ，对网格结构提出了一类适用于周期结构的离散
模型
［２ ，３］
。 这类离散模型的特点是毋需将多胞材
料等效为连续介质 ，可直接对其进行分析 ，但由于
实际计算中规模庞大 ，对应线性系统的系数矩阵的
条件数很大 ，以及受小参数等影响 ，使得通常的数
值求解方法难以进行 。 数值计算是研究网格结构
材料的几何结构 、材料性质及力学性质等的重要手
段 。 多层网格 ＭＧ（Ｍｕｌｔｉｇｒｉｄ）方法是目前求解由
偏微分方程（组）离散化所得大型代数系统的最为
有效的数值方法之一
［４‐１１ ］
。 由于网格结构模型一
般不能用连续偏微分方程（ＰＤＥｓ）所描述 ，因此 ，对
通常的几何多层网格（ＧＭＧ）法无论是算法设计还
是理论分析均带来较大困难 ，为此需要结合问题的
特性 ，开辟一些新的技术途径和研究方法 。 文献
［１２］针对一种呈周期分布的弹性网格结构模型 ，设
计和分析了几种基于代数多层网格（ＡＭＧ）的迭代
方法 。 这些方法对某些网格结构模型 ，如含对角杆
和不含对角杆的网格结构模型 （
ｑ
＝
１） ，关于问题
的规模与模型中重要参数
α
是一致收敛的 ，但对某
些情形 ，如蜂窝状网格结构模型（
ｑ
＝
４） ，当
α
很小
时 ，其求解效果将变差 。
本文针对
ｑ
＝
３ 和
ｑ
＝
４ 的网格结构模型 ，设计
两种预处理方法 ：以块对角逆为预条件子的共轭梯
度法 （ＢＰＣＧ） 及 以 块 下 三 角 逆 为 预 条 件 子 的
ＰＧＭＲＥＳ 法 。ＢＰＣＧ法对
ｑ
＝
３ 的情况有很好的求解
效率和鲁棒性 ，但对
ｑ
＝
４ 的情况 ，特别是当 α 很小
时 ，其求解效率将变得很差 。当 α 很小时 ，与 ＢＰＣＧ
法及以块对角逆为预条件子的 ＰＧＭＲＥＳ 方法相
比 ，以块下三角逆为预条件子的 ＰＧＭＲＥＳ 方法对
求解
ｑ
＝
４ 的蜂窝状网格结构模型在计算 ＣＰＵ 和
算法稳定性等方面均全面占优 。在这两种预处理方
法中 ，均利用了基于标量椭圆问题的 ＡＭＧ 法求各
个子块矩阵的逆 ，以提高内迭代运算效率 。另外 ，对
ｑ
＝
３ 的情形 ，利用 Ｔａｙｌｏｒ 展开 ，建立了三种参考节
点处的近似连续方程 ，这些方程的建立为内迭代方
法的合理性提供了有效的理论支撑 。
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