在多目标最优化问题的研究领域，随着研究的不断深入，产生了许多解的概念，其中涉及到了多种最优解类型。在这些类型中，诸如绝对最优解、有效解、弱有效解以及本文关注的恰当有效解等概念，都是为了更好地从有效解集中选择出具有特殊性质的解。在多目标最优化问题中，恰当有效解的概念相对比较新颖，它试图从有效解中进一步筛选出具有更优性能的解。
为了明确恰当有效解的定义及其在正锥下的等价性，本文着重研究了三类恰当有效解：Ge恰当有效解、Be恰当有效解和He恰当有效解。本文证明了这三类恰当有效解在正锥下的等价性。在多目标最优化问题中，正锥是一个重要的概念，通常表示的是由非负元素组成的锥形集合。正锥在多目标最优化中用于界定哪些解是可接受的，它为解决方案的排序和选择提供了一个依据。
根据文献，Pareto有效解和锥有效解是在多目标优化问题中定义的非劣解，它们代表的是在某种意义下“更好”的解集。由于这些解的数量可能非常大，因此恰当有效解的提出，旨在从这些非劣解中进一步识别出性能更优的解。
恰当有效解的定义最早是由Kuhn和Tucker提出的，并且后来有多种解的概念发展出来。本文研究的三类恰当有效解是基于不同背景提出的：Q恰当有效解侧重于经济背景，Be恰当有效解由Benson提出，而He恰当有效解则由Henig提出。这些解的共同点在于它们都在一定程度上对多目标最优化问题的解提出了更严格的性能要求。
在多目标最优化问题中，解的存在性是一个重要课题，因为如果解不存在，那么问题也就无从谈起。本文通过证明在非空紧凸集上，向量目标函数似凸的多目标最优化问题的Ge恰当有效解的存在性，进一步得出Be恰当有效解和He恰当有效解的存在性。这样，就为多目标最优化问题中的解的存在性提供了强有力的理论支持。
为了更深入理解这三类恰当有效解的等价性和存在性，文章中还引入了一些预备知识。例如，定义了投影锥的概念，它是集合在凸锥上的投影。定义了多目标优化问题的Pareto有效解集，它是多目标最优化问题中的关键概念之一，表示在多目标问题中不存在任何目标能被改进而不使至少一个其他目标变坏的解集合。
本文通过对Ge恰当有效解、Be恰当有效解和He恰当有效解的研究，不仅证明了它们在正锥下的等价性，还探讨了这些解在特定条件下（非空紧凸集上似凸多目标最优化问题）的存在性。这不仅丰富了多目标最优化问题的理论研究，也为实际应用中的问题解决提供了新的视角和工具。
