关于AOR方法的收敛性 (1985年)

A. Hadjidimos于1978年在文[1]中提出一个迭代求解线性方程组的AOR方法(Accelera ted Overrelaxation Method),他及M. M. Martins和陈培贤相继在各种系数矩阵的条件下,讨论了此方法的收敛性。本文考虑系数矩阵为一般矩阵,正定对称矩阵以及M-矩阵的情况,进一步讨论其收敛性,扩充了他们的结果。 ### 关于AOR方法的收敛性 #### 一、引言 AOR方法（Accelerated Overrelaxation Method）是一种迭代方法，用于求解线性方程组问题。该方法由A. Hadjidimos在1978年首次提出，并在随后的研究中被多位学者进一步探讨和完善。本篇文章将详细介绍AOR方法及其收敛性的理论基础，同时也会讨论不同类型的系数矩阵（如一般矩阵、正定对称矩阵、M-矩阵等）对AOR方法收敛性的影响。 #### 二、AOR方法的基本概念 AOR方法的主要目的是通过迭代方式求解形如\( AX = b \)的线性方程组，其中\( A \)为系数矩阵，\( X \)为未知数向量，\( b \)为已知常数向量。AOR方法的迭代公式可以表示为： \[ X^{(n+1)} = (D - rL)^{-1} \{ (1-\omega) D + (\omega - r)L + \omega U \} X^{(n)} + \omega b \] 其中，\( A = D - L - U \)，\( D \)是非奇异对角矩阵，\( L \)是严格的下三角矩阵，\( U \)是严格的上三角矩阵。\( r \)和\( \omega \)是迭代过程中的两个实数参数。\( X^{(n)} \)表示第\( n \)次迭代的结果。 #### 三、AOR方法的迭代矩阵 AOR方法的迭代矩阵\( T \)可以表示为： \[ T = (D - rL)^{-1} \{ (1-\omega) D + (\omega - r)L + \omega U \} \] 其中\( L = D^{-1}L \)，\( U = D^{-1}U \)。迭代矩阵\( T \)的性质对于分析AOR方法的收敛性至关重要。 #### 四、不同类型的系数矩阵 1. **一般矩阵**：对于一般矩阵，AOR方法的收敛性取决于迭代参数\( r \)和\( \omega \)的选择。通过适当选择这两个参数，可以在一定程度上保证AOR方法的收敛性。 2. **正定对称矩阵**：当系数矩阵\( A \)是正定对称矩阵时，AOR方法表现出更好的收敛性能。这是因为正定对称矩阵具有许多优良性质，例如所有特征值都是正实数，这些性质有助于提高迭代方法的收敛速度。 3. **M-矩阵**：M-矩阵是一类特殊的矩阵，它们具有非负逆和非正非对角元素。在这种情况下，AOR方法的收敛性得到了显著改善，尤其是当矩阵是不可约且严格对角占优时。 #### 五、AOR方法的收敛性分析 对于不同的系数矩阵类型，AOR方法的收敛性分析主要依赖于以下几个方面： 1. **置换矩阵**：通过引入置换矩阵\( T \)，可以重新排序线性方程组，使得迭代过程更容易收敛。 2. **正数序列**：为了保证AOR方法的收敛性，需要找到一组正数序列\( \mu_1, \mu_2, ..., \mu_n \)，使得特定的不等式关系成立。这些不等式关系反映了系数矩阵中元素的大小关系，从而确保迭代过程中误差的减少。 3. **收敛率估计**：通过分析迭代过程中的误差变化，可以给出AOR方法的收敛率估计。这些估计通常涉及到迭代矩阵\( T \)的谱半径或范数。 #### 六、结论 通过对AOR方法的深入研究，我们可以看到，对于不同类型的系数矩阵，通过合理选择迭代参数\( r \)和\( \omega \)，以及采用适当的置换矩阵和正数序列，可以有效地提高AOR方法的收敛性能。特别是对于正定对称矩阵和M-矩阵，AOR方法显示出更好的收敛特性。此外，对于一般矩阵的情况，虽然可能需要更多的迭代步骤才能达到所需的精度，但通过精心设计的策略，仍然可以实现有效的求解。 AOR方法作为一种迭代求解线性方程组的强大工具，在多种类型的系数矩阵下都表现出了良好的收敛性，这为解决实际问题提供了有力的支持。