A-调和函数高阶可积性的简单证明 (2009年)

### A-调和函数的高阶可积性 在数学领域中，A-调和函数是一种重要的泛函分析对象，通常与微分方程、几何分析和偏微分方程等领域紧密相关。A-调和函数的研究，尤其对于理解函数的可积性质具有重要意义。在此基础上，高阶可积性理论的发展提供了对A-调和函数性质的深入理解。 #### A-调和函数的基本定义 A-调和函数是A-调和方程的弱解。一个A-调和方程通常写作：div A(x, ∇u) = 0，其中A(x, ξ)是一个向量值函数，它将Ω中的点x和n维欧几里得空间中的向量ξ映射到另一个向量。对于A-调和函数，需要满足一定的增长条件，即存在常数α和β，使得对于所有的ξ，有不等式n-1 <A(x, ξ), ξ> ≥ α|ξ|^p，以及|A(x, ξ)| ≤ β|ξ|^(p-1)，这里的p是一个实数指数，通常大于等于n。 #### 高阶可积性 高阶可积性关注的是函数在L^p空间内的可积性质。具体而言，若函数u属于W^(1,p)(Ω)，意味着u以及其梯度都在L^p(Ω)空间内有界的。一个函数的高阶可积性，则是指它在更高阶的L^q空间内的可积性质，其中q > p。 #### Sobolev空间 Sobolev空间是分析函数可积性质的一个重要工具，其定义是所有可微函数（及其高阶导数）的L^p空间的完备化。在Sobolev空间理论中，函数的可积性不仅局限于函数本身，还包括其导数的可积性。Sobolev嵌入定理揭示了Sobolev空间中函数的可积性质与Sobolev空间的指数关系，即给定的函数在Sobolev空间内有高阶可积性时，其在相应阶的L^p空间内也有可积性。 #### Carozza和Passarelli不等式 Carozza和Passarelli给出的不等式是解决A-调和函数高阶可积性问题的关键。具体来说，该不等式涉及到了Sobolev空间中的散度-旋度场，并且在分布意义下给出了一个重要的估计。不等式显示了在满足特定条件时，可以对函数的可积性给出更精确的界限。 #### 引理和定理 文中提到了若干关键的引理和定理，这些定理和引理在证明过程中起到了基石的作用。例如，引理1提供了一个关于散度-旋度场的不等式，此不等式对于理解函数的局部可积性至关重要。定理A则表明，对于满足特定增长条件的A-调和方程的弱解，总存在一个正数ε使得解u属于W^(1,p+ε)_loc空间。这表明，A-调和函数的解可以提升其可积性。 #### 几何函数论 A-调和方程的研究，除了应用到几何函数论，还在现代偏微分方程理论中有其重要应用。几何函数论中的许多问题都可以转化为A-调和方程的研究，反过来，A-调和方程的研究结果也可以应用于几何函数论。 #### 研究结果的意义 文章所证明的A-调和函数高阶可积性结果在现代数学分析，尤其是微分方程理论的发展中具有重要意义。它不仅提供了对A-调和函数性质的新理解，而且为解决相关领域的数学问题提供了新的工具和方法。这表明，在给定的自然指数p∈[n/(n-1), n)条件下，A-调和函数不仅具有一阶可积性，而且具有更强的高阶可积性，这对于相关领域的研究具有深远的影响。