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为提高预测瓦斯含量的精度,利用六节点三角形有限单元法进行预测。通过理论推 导,构建了采用六节点三角形单元法预测瓦斯含量的计算模型,根据计算模型编制了 C++ 语言计算程序,并应用于大平矿区瓦斯含量预测。预测结果与实测瓦斯含量相比较表明,六 节点三角形单元模型预测瓦斯含量的误差为-10.0 7%~8.0 6%,比三节点三角形单元模型 预测误差-19.4 %~8.7 9%小。因此,应用六节点三角形单元模型能够有效提高瓦斯含量预 测精度。
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六 节 点 三 角 形 单 元 预 测 瓦 斯 含 量 研 究
尹士献
1
, 孟献义
2
, 秦法秋
3
(1. 河 南 理 工 大 学 安 全 技 术 培 训 中 心 , 河 南 焦 作 454000 ; 2. 河 南 煤 业化 工 集 团 有 限 责 任 公 司 技 术中 心 , 450046 ; 3 . 郑 州 煤 炭
工 业 ( 集 团 ) 公 司 大 平 矿 , 河 南 新 密 452300)
倡栘
摘要: 为提高预测瓦斯含量的精度, 利用六节点三角形有限单元法进行预测.通过理论推
导, 构建了采用六节点三角形单元法预测瓦斯含量的计算模型, 根据计算模型编制了 C++
语言计算程序, 并应用于大平矿区瓦斯含量预测.预测结果与实测瓦斯含量相比较表明, 六
节点三角形单元模型预测瓦斯含量的误差为 -10畅07% ~8畅06%, 比三节点三角形单元模型
预测误差 -19畅4% ~8畅79%小.因此, 应用六节点三角形单元模型能够有效提高瓦斯含量预
测精度.
关 键 词: 六节点; 三角形单元; 有限元; 瓦斯含量
中图分类号: TD712
+
畅5 文献标识码: A 文章编号: 1673 -9787 (2010) 02 -0140 -07
Prediction of the content of gas by triangular elements with six nodes
YIN Shi -xian
1
, MENG Xian -yi
2
, QIN Fa -qui
3
(1. Training Center for Safety Technology, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454003 , Henan, China; 2.Technology Center, Henan Coal
Chemical Industry Group Co., Ltd, Zhengzhou 450046 , China; 3.Daping Coal Mine, Zhengzhou Coal Industry ( Group) Corporation, Xinmi
452300, Henan, China)
Abstract: In order to improve the prediction accuracy of the gas content, an infinite element method of the
triangular elements with six nodes is used.Mathematical model for the estimate of the content of the gas value
is established by using the triangular elements with six nodes through the theoretical deduction.Based on this
model, the computer program by code of C++ is made out, which is applied in the estimate of the content of
the gas value in Daping Coal Mine.The comparison of the estimated gas value and the field measurements
show that the error between them is range from -10畅07% to 8畅06% by using triangular element with six
nodes, but the error is range from -19畅4% to 8畅79% by using the triangular element with three nodes.
Therefore, using the triangular element with six nodes is more exact in prediction of the content of gas value.
Key words: six nodes;; triangular element; finite elements; the content of gas
0 引 言
局部瓦斯异常变化会给煤矿安全生产造成较大影响
[ 1 ]
.在研究区域内, 这种渗流场属于二维调
和方程狄利克雷问题
[ 2 ]
, 因此可采用平面有限元素法 (里茨法) 求解.
三角形有限单元法在工程领域中被广泛应用.刘万林在文献 [3] 中, 提出用三节点三角形单元
第 29 卷第 2 期
2010 年 4 月
河南理工大学学报 (自然科学版)
JOURNAL OF HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY (NATURAL SCIENCE)
Vol.29 No.2
Apr.2010
倡
收 稿 日 期 : 2010 -04 -01
基 金 项 目 : 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (50804013 )
作 者 简 介 : 尹 士 献 (1970 -) , 男 , 河 南 淅 川 人 , 博 士 生 , 从 事 采 矿 工 程 技 术 研 究 .
E -mail: yinvte@hpu.edu.cn
有限元法预计高程异常, 此后许多学者对此问题进行了探讨
[ 4 -5]
.笔者通过研究发现, 六节点三角形
单元模型预测精度要高于三节点三角形单元模型.
1 瓦斯含量曲面的数学表达
对曲边区域, 三角剖分可灵活地构造非均匀网格, 并且能很好地逼近具有复杂边界的区域.在二
维问题计算中, 三角形元是应用最广的单元.
根据变分原理, 求解拉普拉斯方程第一边值问题等价于在边界条件的约束下求以下泛函的极小值
问题, 即
[ 2 ]
J[ζ(x,y) ] =
1
2
簇
D
(
矪ζ(x,y)
矪x
)
2
+(
矪ζ(x,y)
矪y
)
2
dxdy =min
ζ(x,y) |
( x ,y) ∈ S
=ζ
S
(x,y)
. (1)
为了获得上述问题的最优近似解, 有限元法通常以一张三角形网格覆盖所研究的区域.为求三角
形网格顶点和各边中点 ( 六节点三角形单元法) 上的数值解, 需进行离散化, 其几何意义则是用一
张由若干个三角形元组成的分片片面逼近高程异常曲面, 如图 1 所示.
2 六节点三角形单元单刚矩阵的推导
在每个三角形 e 上, 不防假定瓦斯含量函数
ξ(x, y) 是点位 (x, y) 的完全二次多项式函
数, 即
ξ(x,y) =α
1
+α
2
x +α
3
y +α
4
x
2
+
α
5
xy +α
6
y
2
, (2)
由于瓦斯含量函数次数高, 待定系数较多, 按照
直角坐标系来表示插值函数和形态函数, 计算复
杂, 为运算简便, 可以使用面积坐标来代替直角
坐标.
以图 1 中三角形单元①为例, 三角形单元①
的面积坐标可表示为
[ 6 ]
L
i
=
1
2A
(a
i
+b
i
x +c
i
y)
L
j
=
1
2A
(a
j
+b
j
x +c
j
y)
L
m
=
1
2A
(a
m
+b
m
x +c
m
y)
, (3)
式中: A 为三角形单元的面积, 且 a
i
=x
j
y
m
-x
m
y
j
, b
i
=y
j
-y
m
, c
i
=x
m
-x
j
;a
j
=x
m
y
i
-x
i
y
m
, b
j
=
y
m
-y
i
, c
j
=x
i
-x
m
;a
m
=x
i
y
j
-x
j
y
i
, b
m
=y
i
-y
j
, c
m
=x
j
-x
i
.
利用面积坐标可推导瓦斯含量的插值函数.单元共有 6 个结点, 插值函数为
[ 6 -7 ]
ξ(x,y) =N
i
ξ
i
+N
j
ξ
j
+N
m
ξ
m
+N
n
ξ
n
+N
g
ξ
g
+N
w
ξ
w
, (4)
6 个形态函数表达式简记为
N
i
=L
i
(2L
i
-1) (i,j,m)
N
n
=4L
j
L
m
(n,g,w)(i,j,m)
, (5)
式 (4) 分别对 x, y 求导得
矪ξ(x,y)
矪x
=
矪N
i
矪x
ξ
i
+
矪N
j
矪x
ξ
j
+
矪N
m
矪x
ξ
m
+
矪N
n
矪x
ξ
n
+
矪N
g
矪x
ξ
g
+
矪N
w
矪x
ξ
w
矪ξ(x,y)
矪y
=
矪N
i
矪y
ξ
i
+
矪N
j
矪y
ξ
j
+
矪N
m
矪y
ξ
m
+
矪N
n
矪y
ξ
n
+
矪N
g
矪y
ξ
g
+
矪N
w
矪y
ξ
w
, (6)
141
第 2 期 尹士献, 等: 六节点三角形单元预测瓦斯含量研究
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