文章主要探讨了量子力学中的自旋态与张量分解的相关概念，包括可规则分解张量的概念及其与经典自旋态的关系。以下将从标题、描述以及部分内容中的关键信息来详细阐述这些知识点。
标题中提到的“可规则分解的张量”（Regularly Decomposable Tensors）是张量分解理论中的一个重要概念。在数学和物理领域，张量是一个多线性代数中的一个对象，可以看作是高维数组。它在描述物质的物理状态，如温度、应力分布，以及在量子力学中描述粒子的量子态时非常有用。张量的分解，尤其是规则分解，旨在将张量表达为更简单组件的乘积形式，这在数学上可以帮助简化问题，而在物理上则有助于理解系统的本质属性。
描述中指出可规则分解的张量与经典自旋态的等价性，即一个自旋态能否用规则分解张量来表示，是判断其是否为经典状态的必要和充分条件。这意味着，通过分析张量是否能够规则分解，可以得到自旋态是否具有经典物理属性的结论。这为量子力学中如何识别经典与量子行为提供了一个数学工具。
文章还区分了偶数阶和奇数阶情况下的可规则分解张量的不同性质。在偶数阶的情况下，完全可分解张量是可规则分解张量的一种，但反之则不一定。完全可分解张量可以表达为数个对称张量的和（即平方和，Sum of Squares，简称SOS），而SOS张量又是一种正半定（Positive Semi-Definite，简称PSD）张量，但这些关系都有其逆向不成立的局限。在奇数阶的情况，可规则分解张量的特性有所不同，文章中明确阐述了这一点。此外，文章还讨论了这些分解在正交变换下的不变性，以及不同张量锥体的闭凸性质。
张量锥体概念的引入，为理解这些张量的分解提供了几何框架。在偶数阶情况下，完全可分解张量锥体与PSD张量锥体是彼此对偶的。这一概念在研究张量空间结构时尤其重要，因为它为张量空间的结构和性质提供了额外的几何理解。
文章还提到了Hadamard乘积的概念。Hadamard乘积是一种矩阵乘积的形式，在张量的上下文中，两个完全可分解张量的Hadamard乘积仍然是完全可分解张量。这个性质在张量分析中具有重要意义，因为它涉及到张量运算的封闭性。
文章中提到正定半程序（Positive Semi-Definite Programming）算法在判断对称张量是否为PSD张量时的应用，给出了判断自旋态经典性的一个可检查的必要条件。这表明，通过数值计算方法，研究者可以有效地分析张量，并且可以将这些方法应用于量子系统的分析中。
文章还指出了进一步研究可规则分解张量的相关问题，这表明该研究领域还有许多未解之谜和潜在的研究方向。通过这些内容的深入分析，研究者可以更进一步理解量子系统中自旋态的复杂性，以及如何通过张量分析来描述和区分经典物理现象与量子物理现象。
关键词包括“正定半定张量”、“平方和张量”、“量子纠缠”、“自旋态”、“玻色子”、“费米子”和“经典性”，这些都是张量分析和量子物理研究中不可或缺的概念。AMS主题分类为15A18、15A69、15B48，涵盖了多线性代数、对称张量及数值线性代数等研究领域。
在引言部分，作者提到了一个几何化的量子态概念有助于我们理解潜在的物理属性。Ettore Majorana提出了一个对任意纯自旋态的几何表示方法，即将自旋-j态视作在复数射影空间上的N=2j个点。这一几何视角对于揭示自旋态的内在物理特性是非常有帮助的。
文章提供了一个深入探讨量子自旋态与张量分析之间关系的研究，它不仅揭示了可规则分解张量的特性，还为判断量子系统中自旋态的经典性提供了一种理论工具。此外，它为未来在张量理论与量子物理交叉领域的研究打开了大门。
