文章的主题聚焦于组合数学中关于图嵌入的一个特定问题，特别是关注了在曲面上嵌入图的不可定向亏格问题。为了深入理解文章的知识点，我们将从以下几个方面进行阐述：
一、图的嵌入与亏格概念
在组合数学中，图嵌入是指将图放置在某种几何对象（如曲面）上的方式，使得图中的顶点和边在几何对象上的分布满足特定的性质。通常，嵌入的研究对象是二维无边界的紧致流形，这些流形可以是可定向的，也可以是不可定向的。可定向和不可定向亏格分别指一个图嵌入到可定向或不可定向的最小亏格的流形上的次数。亏格是描述曲面复杂度的拓扑不变量，数值越高的亏格代表嵌入的曲面越复杂。
二、完全三部图的嵌入问题
完全三部图是一种特殊类型的图，由三个互不相交的顶点集构成，并且图中任意两个顶点都由边连接，只要这两个顶点分别属于不同的顶点集。文章中提到的“Orientable and nonorientable genera for some complete tripartite graphs”这篇论文研究了特定的完全三部图在可定向和不可定向曲面上嵌入的亏格问题，并提出了一种方法来确定它们的不可定向亏格。
三、嵌入的diamond和与反例
文章的核心贡献是提供了两个嵌入的diamond和的不可定向亏格的反例。在图嵌入的研究中，diamond和是一种构造两个图嵌入的方法。具体来说，如果有两个图G1和G2分别嵌入在两个不同的曲面上，通过一种特定的方式（包括选择特定的顶点和边的操作）将两个嵌入“合并”，可以得到一个新的嵌入。这种方法在文章中被称为diamond和。万良霞和刘彦佩在文中证明了之前的方法无法适用于某些情况，通过展示反例来说明该方法的局限性，并对定理3.3(ii-iii)的某些情形给出了新的证明。
四、关键词解释
1. 组合：研究离散数学结构之间关系的数学分支。
2. 联树：在图嵌入领域，联树与图的嵌入有关，用来描述图嵌入在特定曲面上的结构。
3. 关联曲面：与特定图关联的曲面，图可以在这个曲面上进行嵌入。
4. 完全三部图：由三个独立顶点集合构成，图中任意两个顶点分别属于不同集合时都存在连接的边。
5. 不可定向亏格：一个图可以在不可定向曲面上嵌入的最小亏格数。
6. 嵌入：图在曲面上的放置方式，满足图的顶点和边在曲面上的分布特性。
五、研究的意义与应用
组合数学在理论研究和实际应用中都非常广泛，特别是在图论和网络理论领域。图嵌入的研究对于理解复杂网络的拓扑结构具有重要意义，而亏格的研究有助于我们了解在不同拓扑限制下，图嵌入的可能性和性质。具体到本文的研究，其结果不仅修正了之前研究的不足，还对图论和组合优化领域的理论研究有推动作用，尤其是在图嵌入的不可定向亏格研究方面。此外，这项工作还可能对图的其他组合性质、算法设计和计算复杂性等产生影响。
总体来看，这篇文章在数学理论层面为图嵌入与曲面亏格的研究提供了新的视角和深入理解，也为图论和组合数学领域做出了贡献。
